Teorema de Bolzano. Ejercicio

Ejercicio:

Resolver por el método de la regla falsa y encontrar la raíz real de la función:

f(x) = (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1

Con un error de 0.001 en el intervalo de (-3, 0)

Primero hay que revisar si hay una raíz real en ese intervalo

Utilizamos el Teorema de Bolzano, evaluamos el intervalo en la función:

f(-3) = (-3+1)3 = (-2)3 = -8

f(0) =(0+1)3 = 1

Se cumple el Teorema de Bolzano porque un valor es positivo y el otro es negativo, o en otras palabras al multiplicar ambos valores me da negativo, f(-3) * f(0) = -8 * 1 = -8

A partir de xI = -3 y xD = 0

Ahora, debemos repetir:

xM =  ( xI f(xD) – xD f(xI) ) / f(xD) – f(xI)

Iteración 1:

xM =  ( -3 (1) – 0 (-8) ) / 1 – (-8) = (-3 – 0 ) / 1 + 8 = -3 / 9 = -1 / 3 = -0.333333

f(xM) = (-1/3 + 1)3 = (2/3)3 = 8/27 = 0.296296

|f(xM)| = |8/27| = 8/27 = 0.296296

¿ |f(xM)| < error ?

¿ 0.296296 < 0.001 ?         🡪 FALSO

 Por lo tanto necesito un nuevo intervalo

f(xM) = 0.296296 es Positivo, es decir > 0, entonces xD = xM, y xI se queda igual

xD = -1/3

xI = -3

Iteración 2:

xM =  ( xI f(xD) – xD f(xI) ) / f(xD) – f(xI)

xM =  ( -3 (0.296296) – (-1/3) (-8) ) / 0.296296 – (-8) = (-0.888888 – 2.666666 ) / 8.296296

= -3.555554 / 8.296296 = -0.428571

f(xM) = (-0.428571 + 1)3 = (0.571429)3 = 0.186589

|f(xM)| = |0.186589| = 0.186589

¿ |f(xM)| < error ?

¿ 0.186589 < 0.001 ?         🡪 FALSO

Por lo tanto necesito un nuevo intervalo

f(xM) = 0.186589 es Positivo, es decir > 0, entonces xD = xM, y xI se queda igual

xD = -0.428571

xI = -3

Iteración 3:

xM =  ( xI f(xD) – xD f(xI) ) / f(xD) – f(xI)

xM =  ( -3 (0.186589) – (-0.428571) (-8) ) / 0.186589 – (-8) = (-0.559767 – 3.428568 ) / 8.186589

= -3.988335 / 8.186589 = -0.487179

f(xM) = (-0.487179 + 1)3 = (0.512821)3 = 0.134864

|f(xM)| = |0.134864| = 0.134864

¿ |f(xM)| < error ?

¿ 0.134864 < 0.001 ?         🡪 FALSO

Por lo tanto necesito un nuevo intervalo

f(xM) = 0.134864 es Positivo, es decir > 0, entonces xD = xM, y xI se queda igual

xD = -0.487179

xI = -3

Iteración 4:

...