Teorema de Transporte de Reynolds

TEMA 5: TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS

Demostrar el Teorema de Transporte de Reynolds:

b) ÇENGEL&CIMBALA J. (2018). Mecánica de fluidos: Fundamentos y Aplicaciones. 4ta edición, páginas 162-167.

En la dinámica de fluidos se trabaja comúnmente con volúmenes de control, que se define como regiones de espacio que son elegidas para realizar su estudio; también es conocido como sistema abierto. El tamaño y forma de un sistema puede variar, sin embargo, nada masa puede cruzar sus límites o frontera del sistema. Al efectuar un análisis por volumen de control, se permite que la masa salga o entre a través de los límites, los cuales se conocen como superficies de control. El volumen de control puede moverse y deformarse durante un proceso, pero en las aplicaciones reales se aplican volúmenes de control fijos e inamovibles.

En base a este principio, surge la necesidad de relacionar de relacionar los cambios que ocurren en el volumen de control con los cambios en todo el sistema.

El Teorema de Transporte de Reynolds proporciona un vínculo entre los enfoques del sistema y el volumen de control. Analiza la relación entre las razones de cambio respecto del tiempo de una propiedad extensiva.

De forma general, este teorema se puede deducir al considerarse un sistema con una forma e interacciones arbitrarias, aunque la deducción es bastante complicada. Primero se deduce de manera directa mediante el uso de una configuración geométrica sencilla y, luego, se generalizan los resultados.

[pic 1]

Figura xx: Relación entre el sistema y los volúmenes de control. Fuente: YouTube.

En la figura xx consideramos una porción de un flujo de izquierda a derecha que va expansión o divergencia de un campo de flujo. Las líneas de color azul superior e inferior se consideran como líneas de corriente de flujo, limitan al fluido y se supone que éste es uniforme a través de cualquier sección transversal entre estas dos líneas. Se elige como volumen de control a la zona fija de color gris en medio de las secciones I y II del campo de flujo. Tanto las secciones I y II son normales a la componente horizontal de la dirección del flujo. Durante un tiempo t, el sistema está dado por el volumen de control gris junto el volumen de sustancia I, que pasaría a formar parte del volumen de control. Al transcurrir un tiempo (t+Δt), el nuevo sistema estaría dado por el volumen de control gris y el volumen de sustancia II, definiendo que esta región estaría dada por VC – I + II.

Representamos B por cualquier propiedad extensiva (como la masa, energía o cantidad de movimiento) y  como propiedad intensiva correspondiente. Cuando se observe que las propiedades extensivas son aditivas, la propiedad extensiva B del sistema en los instantes (t) y (t+Δt) se pueden expresar como:[pic 2]

          (En el instante t)[pic 3]

          (En el instante t+Δt)[pic 4]

Al restar la primera ecuación de la segunda, y dividir entre Δt nos da:

[pic 5]

Si tomamos el límite cuando , y se utiliza la derivada, obtenemos:[pic 6]

[pic 7]

Esta ecuación representa que la razón de cambio respecto del tiempo de la propiedad B del sistema es igual a la razón de cambio de B respecto del tiempo del volumen de control más el flujo neto de B hacia afuera de este volumen debido a la masa que cruza la superficie de control.

Pasamos a analizar los límites cuando  en :[pic 8][pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

Donde  son las áreas de las secciones transversales en las ubicaciones 1 y 2; y  sus velocidades respectivamente, las cuales son aproximadamente normales a las superficies 1 y 2; sin embargo, se pueden tener varias entradas y salidas y puede ser que la velocidad no sea normal a la superficie de control en el punto de ingreso. Con el fin de generalizar este proceso, se considera un área superficial dA sobre la superficie de control y se denota un vector normal exterior unitario por . El gasto de la propiedad b a través de dA es , ya que el producto punto  nos da la componente normal de la velocidad. Entonces, por integración se determina que la razón neta de flujo de salida a través de toda la superficie de control (SC) es:[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

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