Teorema del transporte de reynolds

4.3   Teorema del transporte de Reynolds. Enfoque difer- encial

Apliquemos el teorema del transporte de Reynolds para estudiar la variaci´on de la densidad ρ en un volumen  de control  infinitesimal,  dV  = dx dy dz; es decir,  consideremos η = 1 y R = 0. Utilizando la notaci´on definida en el Cap´ıtulo 1, denotamos con e y w las caras cuyo

vector normal es nˆe/w  = ± ˆı, respectivamente, con n y s las caras cuya normal es nˆn/s  = ± ˆ,

y t, b las caras con normal nˆt/b  = ±kˆ (ver Figura 4.9).

dx[pic 1][pic 2]

(A)[pic 3]

n

(B)

dz

w                           t/b                           e

z                                                                               y[pic 4][pic 5]

dy

x                                                                                  x           s[pic 6]

t

(C)

b

(D)

w                           n/s[pic 7]

e              s                           e/w                           n

z                                                                            z

x           b                                                              y            t[pic 8]

Figura  4.9: Definicio´n de volumen de control dV  y notacio´n utilizada.

En este caso el teorema del transporte de Reynolds se escribe como:

∂  Z

∂t  V[pic 9]

ρ dx dy dz + Z

S

ρ~v · nˆ dS = 0                                      (4.14)

sin embargo, dado que el volumen de control considerado es infinitesimal, el lado izquierdo de (4.14) se reduce a:

∂  Z

∂t  V[pic 10]

∂ρ ρ dx dy dz = dxdydz

∂t[pic 11]

(4.15)

Por otro lado, el segundo t´ermino de (4.14) se puede descomponer  en 6 integrales  que dan cuenta del flujo m´asico a trav´es de cada una de las caras del volumen de control, de manera

que:

Z

S

ρ~v · nˆ dS = Z

Se

ρe ~ve

· nˆe

Z

dSx  +

Sw

ρw ~vw

· nˆw

dSx

+ integrales en caras n, s, t y b  (4.16)

Es f´acil ver que:

y

~ve · nˆe = ue                                                                                        (4.17)

~vw · nˆw = −uw                                                                                    (4.18)

donde ue  y uw  son las componentes segu´n x de la velocidad, evaluadas  en las caras e y w, respectivamente.   El signo negativo  en uw   viene dado  por el signo de nˆw  = −ˆi.   Por  otro lado, si repetimos el mismo an´alisis para las otras 4 caras de dV , sabiendo que los elementos

dSx   = dy dz, dSy  = dx dz, y dSz   = dx dy, y considerando  que ~v y ρ son uniformes en las respectivas caras, dadas sus dimensiones infinitesimales, obtenemos que la integral del lado derecho de (4.16) es:

Z  ρ~v · dS = (ρ  u  − ρ

u  ) dy dz + (ρ  v

− ρ  v ) dx dz + (ρ  w

− ρ  w ) dx dy     (4.19)

e    e          w    w

S

n   n        s    s

t   t       b     b

Si ahora llamamos uw  = u, ρw  = ρ, y hacemos una expansi´on en serie de Taylor en torno a w, truncando al primer orden, se tiene:

ρe ue  = ρw uw  +

∂(ρ u)

∂x   |w dx + · · · = ρ u +[pic 12]

∂(ρ u)[pic 13]

dx + . . .                   (4.20)

∂x

y, si repetimos  este  procedimiento  en las otras  dos direcciones y reemplazamos  en (4.14), entonces obtenemos la ecuaci´on de conservaci´on de la masa segu´n el enfoque diferencial:

o bien:

∂ρ     ∂(ρ u)

+         +[pic 14][pic 15]

∂t       ∂x

∂ρ

∂(ρ v)

∂y[pic 16]

Dρ[pic 17]

∂(ρ w)[pic 18]

+

∂z

= 0                                     (4.21)

∂t + ∇ · (ρ ~v) =[pic 19]

Dt + ρ (∇ · ~v) = 0                                     (4.22)

considerando  la definici´on  de derivada  material  dada  anteriormente.  La ecuaci´on  (4.21) es conocida tambi´en como la ecuaci´on de continuidad de masa.

Una manera alternativa de obtener esta ecuaci´on es aplicando el teorema de la divergen- cia, el que expresa que:

Z  ρ ~v · nˆ dS = Z

S                                   V

∇ · (ρ ~v) dV                                               (4.23)

y como V   no depende  del tiempo,  la derivada  temporal  de la integral  sobre V   en (4.14), la podemos expresar,  aplicando  la integraci´on de Leibnitz, como la integral de la derivada temporal, tal que (4.14) queda:

Z     ∂ρ                    

+ ∇ · (ρ ~v)    dV  = 0                                           (4.24)[pic 20]

V       ∂t

que indica que el t´ermino dentro  de la integral es una constante,  la que no puede ser otra que igual a 0.[pic 21]

Consideremos  el caso particular de un fluido incompresible,  el que hemos visto que se caracteriza por que su densidad  es constante, de manera  que la ecuaci´on de continuidad de masa (4.21) se reduce a la ecuaci´on de continuidad o conservaci´on de volumen:

∇ · ~v =

...