Teoremas

El teorema de los multiplicadores de Lagrange es el instrumento teórico más clásico, y el primero desde el punto de vista histórico, para resolver problemas de optimización con restricciones. Su creador, Joseph-Louis Lagrange (Turín, 1736 – París, 1813), utilizó por primera vez la técnica de los multiplicadores para resolver problemas del cálculo de variaciones en su célebre tratado Méchanique Analitique [5], en el cual dotó a la Mecánica de un formalismo analítico adecuado, y posteriormente lo expuso en su no menos célebre obra sobre cálculo diferencial [6]. El teorema en cuestión, bien conocido, trata de la maximización (o minimización) de una función de varias variables, , bajo restricciones de igualdad Suponiendo que tanto la función objetivo como las restricciones son continuamente diferenciables en un óptimo local del problema y que la matriz jacobiana tiene rango , el teorema establece la existencia de , llamadosmultiplicadores de Lagrange, tales que

(1)

siendo la denominada función lagrangiana, definida por

(2)

La demostración más habitual de este resultado se basa en el teorema de la función implícita.

Obsérvese que (1) puede escribirse, equivalentemente,

(3)

el símbolo denota aquí gradiente.

El uso típico que se hace del teorema de los multiplicadores de Lagrange en los cursos de Análisis Matemático para la resolución de problemas de optimización con restricciones de igualdad consiste en plantear el sistema formado por las ecuaciones (1) y las restricciones en las incógnitas para buscar candidatos a óptimo local. El papel que juegan los multiplicadores de Lagrange en este planteamiento se reduce al de meras variables auxiliares, carentes de todo interés intrínseco salvo el de hacer posible el cálculo de potenciales óptimos locales. Sin embargo, los multiplicadores de Lagrange poseen un importante significado matemático, que resulta especialmente relevante en problemas de tipo económico. El principal objetivo de este artículo es precisamente poner de manifiesto ese significado.

Una “pseudodemostración” del teorema de los multiplicadores de Lagrange

Empezaremos presentando una “pseudodemostración” del teorema de los multiplicadores de Lagrange, que, además de ser muy simple, proporciona directamente la interpretación de los multiplicadores. Consideraremos el problema de maximización y, asociado a él, la función denominada función valor ofunción valor óptimo, definida por

Se trata de una función a valores en la recta real extendida, pues puede tomar los valores (cuando la función objetivo no está acotada superiormente sobre el conjunto definido por las restricciones) y (si ese conjunto de soluciones admisibles es vacío). Obsérvese que nuestro problema de maximización (que supondremos global, para simplificar la exposición) equivale a encontrar un punto tal que

Consideremos la función auxiliar definida por

(4)

Es fácil ver que para todo y que si es un máximo global de nuestro problema. Por tanto, es también un máximo global de ; en consecuencia, si suponemos no sólo que las funciones son continuamente diferenciables en sino también que lo es en (es precisamente este supuesto lo que confiere a esta argumentación el carácter de pseudodemostración en lugar de demostración rigurosa), aplicando la condición necesaria de primer orden para extremos locales obtenemos que . Tomando gradientes en (4) se llega, pues, a la conclusión de que

Sólo falta observar que estas condiciones son idénticas a (3) si se toma

(5)

De esta manera no sólo hemos “demostrado” la existencia de los multiplicadores de Lagrange, sino que también hemos visto su auténtico significado: son las derivadas parciales de la función valor con respecto de los segundos miembros de las restricciones, es decir, miden la tasa de variación del valor óptimo del problema en relación a pequeños cambios en los segundos miembros. Aunque, por simplicidad, nuestra pseudodemostración se ha referido al problema de optimización global, una interpretación análoga de los multiplicadores de Lagrange es asimismo válida en el caso de extremos locales, e incluso en el caso más general de puntos que satisfacen las condiciones de Lagrange aun sin ser máximos ni mínimos.

Como ya se ha señalado, el punto débil de la pseudodemostración anterior radica en el supuesto de diferenciabilidad de la función valor , ya que esta función no es necesariamente diferenciable aunque lo sean las funciones que intervienen en su definición. Esta situación es típica en Optimización, donde frecuentemente se obtienen funciones no diferenciables construidas a partir de otras que sí que lo son. Ello ha llevado en las últimas décadas al desarrollo del llamado Análisis No Diferenciable(“Nonsmooth Analysis”), que tiene su punto de partida en el trabajo de Frank H. Clarke [1] en que se introduce la noción de gradiente generalizado para funciones localmente lipschitzianas. Esta noción está inspirada en el Análisis Convexo [9] y diseñada para ser aplicada en problemas de optimización, como lo prueba el hecho de que el propio autor la utilizó poco después [2] para obtener generalizaciones del teorema de los multiplicadores de Lagrange para problemas con funciones localmente lipschitzianas no necesariamente convexas ni diferenciables. El lector interesado en el Análisis No Diferenciable y sus aplicaciones a Optimización y a Teoría de Control puede consultar el clásico libro [3] o el más reciente [4].

Interpretación económica

Volviendo a la interpretación de los multiplicadores de Lagrange obtenida en (5), vamos a examinarla en el caso de varios problemas clásicos de la Teoría Económica.

El primer problema que consideraremos es el de planificación de actividades a partir de unos recursos disponibles y una cierta tecnología. Supongamos que se trata de determinar las cantidades de ciertos outputs, que se producen a partir de inputs de los que se disponen cantidades , de forma que se maximice el beneficio (medido en unidades monetarias). La tecnología que permite la transformación de inputs en outputs viene dada por las funciones : la función indica la cantidad del input que se requiere para producir las cantidades de outputs. Así pues, las restricciones expresan la condición de que las cantidades consumidas de los inputs han de coincidir con las cantidades disponibles. Según (5), el multiplicador coincide con la derivada del beneficio máximo respecto de la cantidad disponible del recurso . En otras palabras, , que se mide en unidades monetarias por unidad de recurso nos permite valorar este recurso en la situación considerada, ya que si la cantidad del recurso experimentara un pequeño incremento (positivo o negativo), el correspondiente beneficio máximo se incrementaría aproximadamente en . Este precio atribuible al recurso , que no tiene por qué guardar ninguna relación con el precio de mercado, es lo que se conoce en Economía con el nombre de precio sombra.

Otro ejemplo clásico en Microeconomía (véase, por ejemplo, [7]) es el problema de maximización de la utilidad del consumidor. Se trata del problema que se plantea un consumidor de cómo gastar su renta disponible en la adquisición de bienes. En el mercado hay bienes, a precios , y el consumidor desea determinar la mejor cesta ( denota la cantidad del bien que forma parte de la cesta) posible según sus preferencias, teniendo en cuenta la restricción presupuestaria Suponiendo que las preferencias del consumidor están representadas por una función de utilidad , es decir, una función tal que la desigualdad indica que el consumidoraprecia la cesta al menos tanto como la cesta , el problema a resolver es el de maximizar bajo la citada restricción. En el caso de este problema, la función valor óptimo asigna a cada valor posible de la renta la utilidad máxima alcanzable y, según la interpretación que hemos visto en el caso general, el multiplicador de Lagrange asociado a la restricción presupuestaria coincide con , lo que en el lenguaje económico se expresa diciendo que es la utilidad marginal de la renta. Análogamente a lo que se ha visto en el caso del problema de planificación de actividades, esto significa que un pequeño incremento en la renta disponible remunera al consumidor con una utilidad adicional aproximadamente igual a .

Consideremos ahora otro problema económico típico, el de minimización de costes. En este caso se trata de determinar las cantidades de inputs necesarias para obtener una cantidad prefijada de unoutput al mínimo coste; la tecnología viene dada por una función de producción que asigna a cada vector de inputs la cantidad de output que se puede producir con ellos, y se suponen dados los costes unitarios de los inputs. El problema a resolver es, pues, el

...