Teorema De Bayes

TEOREMA DE BAYES

INTRODUCCION:

¿QUIEN FUE BAYES?

Thomas Bayes (Londres, Inglaterra, 1702 Tunbridge Wells, 1761) fue un matemático británico. Su padre fue ministro presbiteriano. Posiblemente De Moivre, autor del afamado libro La doctrina de las probabilidades, fue su maestro particular, pues se sabe que por ese entonces ejercía como profesor en Londres. Bayes fue ordenado, al igual que su padre, como ministro disidente, y en 1731 se convirtió en reverendo de la iglesia presbiteriana en Tunbridge Wells; aparentemente trató de retirarse en 1749, pero continuó ejerciendo hasta 1752, y permaneció en ese lugar hasta su muerte.

¿QUE HIZO BAYES?

Estudió el problema de la determinación de la probabilidad de las causas a través de los efectos observados. Su obra más conocida es el Teorema de Bayes. El teorema que lleva su nombre se refiere a la probabilidad de un suceso condicionado por la ocurrencia de otro suceso. Más específicamente, con su teorema se resuelve el problema conocido como "de la probabilidad inversa". Esto es, valorar probabilísticamente las posibles condiciones que rigen supuesto que se ha observado cierto suceso. Se trata de probabilidad "inversa" en el sentido de que la "directa" sería la probabilidad de observar algo supuesto que rigen ciertas condiciones. Los cultores de la inferencia bayesiana (basada en dicho teorema) afirman que la trascendencia de la probabilidad inversa reside en que es ella la que realmente interesa a la ciencia, dado que procura sacar conclusiones generales (enunciar leyes) a partir de lo objetivamente observado, y no viceversa.

Miembro de la Royal Society desde 1742, Bayes fue uno de los primeros en utilizar la probabilidad inductivamente y establecer una base matemática para la inferencia probabilística.

EL TEOREMA DE BAYES: Para entender este teorema debemos tener en cuenta las siguientes definiciones:

PROBABILIDAD CONDICIONADA: es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. cuando los eventos NO SON independientes. Se escribe: P(A/B), probabilidad de que ocurra B, dado que ocurrió A.

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL: nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas. Es decir a partir de la probabilidad del suceso A, deducimos la probabilidad del suceso B.

Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidente es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente (suceso B) si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A).

Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A.

Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito: Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).

Ejemplo: al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso "salir cruz" forman un sistema completo, no hay más alternativas: la suma de sus probabilidades es el 100%.

Ejemplo: al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un sistema completo, ya que no contempla todas las opciones (podría salir el 5 o el 6). En este caso no se podría aplicar el teorema de la probabilidad total.

EL TEOREMA DE BAYES: se apoya en el proceso inverso al que hemos visto en el TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL:

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).

TEOREMA DE BAYES: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).

LA FORMULA DEL TEOREMA DE BAYES ES LA SIGUIENTE:

Tratar de explicar esta fórmula con palabras es un poco complicado, así que vamos a intentar explicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de entrar en el ejercicio, debemos recordar que este teorema también exige que el suceso A forme un sistema completo.

EJEMPLO 1: El informe meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:

a) Que llueva: probabilidad del 50%.

b) Que nieve: probabilidad del 30%.

c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.

Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:

a) Si llueve: probabilidad de accidente del 20%.

b) Si nieva: probabilidad de accidente del 10%.

c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.

Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (llovío, nevó o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:

Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 50%, nieve con el 30% y niebla con el 20%).

Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades

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