Transformaciones Elementales Del Renglon

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES DE RENGLÓN.

En sistemas de ecuaciones lineales podemos realizar los siguientes operaciones.

1. Intercambiar una ecuación por otra

2. Multiplicar una ecuación por una constante no nula

3. Sumar dos ecuaciones (o restar)

4. Multiplicar una ecuación por una constante y el producto sumarlo

a otra de las ecuaciones.

Estas operaciones hechas con las ecuaciones son con el objetivo de formar “Sistemas Equivalentes” al sistema dado que tiene la misma solución que el sistema original y cuya solución sea mas fácil de obtener.

Las mismas operaciones hechas a las “Ecuaciones” se pueden realizar en las matrices sobre los “Renglones” siendo conocidas con el nombre de transformaciones elementales de renglón de una matriz y son los siguientes.

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES DE RENGLÓN

1. Intercambio de dos renglones

2. Multiplicación de todos los elementos de un renglón por una constante distinta de cero

3. Multiplicación de un renglón por una constante no nula y el producto sumarlo al correspondiente elemento de cualquier otro renglón.

http://www.oocities.org/mx/aescamifime/temas/matrices/matricesa.htm

La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en

otra matriz m´as f´acil de estudiar. En concreto, siempre ser´a posible conseguir una matriz escalonada,

en el sentido que definimos a continuaci´on.

Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los n´umeros de F coinciden

con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer n´umero distinto de cero de F contando

de izquierda a derecha.

Una MATRIZ ESCALONADA es aqu´ella que verifica las siguientes propiedades:

Matrices 5

1. Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.

2. El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente m´as a la derecha que el pivote de la fila

de encima.

Por ejemplo, entre las matrices:

A no es escalonada, mientras que B y C s´ı lo son.

Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por rg(E), como el

n´umero de filas no nulas de E.

En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg(B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que

rg(A) = 3 ya que A no est´a escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz

identidad de orden n cumple rg(In) = n.

La siguiente cuesti´on que abordaremos es la definici´on de rango para una matriz cualquiera que

no est´e escalonada. La idea ser´a la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante

las llamadas transformaciones elementales por filas que describimos a continuaci´on.

Dada una matriz A cualquiera, las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas de A son tres:

I. Intercambiar la posici´on de dos filas.

II. Multiplicar una fila por un n´umero real distinto de cero.

III. Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente

multiplicada por un n´umero cualquiera.

Nota: An´alogamente podr´ıamos hacerlo todo por columnas; sin embargo, son las transformaciones

por filas las que son importantes en los sistemas de ecuaciones lineales que estudiaremos despu´es.

El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en

otra escalonada.

Teorema 1.1. A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones

elementales, a una matriz escalonada E.

Veamos en un ejemplo

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