Transformada de Laplace. Ecuación de Bernoulli
Matias Cortés OPráctica o problema6 de Noviembre de 2016
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Ecuación de Bernoulli
Algunas veces al hacer un cambio de variable se logra transformar una ecuación diferencial en lineal, como el ejemplo anterior. Otro situación semejante se presenta para la ecuación de Bernoulli.
| Definición |
| Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma [pic 1] donde [pic 2] y [pic 3] son funciones reales y continuas en un intervalo [pic 4]y [pic 5] es una constante real diferente de [pic 6] y [pic 7] se conoce como ecuación de Bernoulli1.2 |
Observación: cuando [pic 8] la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación separable y cuando [pic 9] se trata de una ecuación lineal, casos ya estudiados.
| Teorema | ||
| La ecuación de Bernoulli
se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución [pic 11]. |
Demostración:
Al dividir la ecuación 1.12 por [pic 12], resulta
[pic 13] | (1.13) |
Usando la regla de la cadena, calculemos [pic 14] a partir de la sustitución [pic 15]
[pic 16]
Sustituyendo en la ecuación 1.13, esta se transforma en
[pic 17]
la cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden, como se quería.
Ejemplo:
Resuelva la ecuación
[pic 18]
Solución
Ésta es una ecuación de Bernoulli con [pic 19], [pic 20] y [pic 21]. Para resolverla primero dividamos por [pic 22]
[pic 23]
Ahora efectuemos la transformación [pic 24]. Puesto que [pic 25], la ecuación se transforma en
[pic 26]
Simplificando obtenemos la ecuación lineal
[pic 27]
Cuya solución es
[pic 28]
y al sustituir [pic 29] se obtiene la solución de la ecuación original
[pic 30]
Observación: en esta solución no está incluida la solución [pic 31], que se perdió durante el proceso de dividir por [pic 32]. Es decir, se trata de una solución singular.
Ejemplo:
Compruebe que la ecuación diferencial
[pic 33]
se transforma en una ecuación de Bernoulli al hacer [pic 34].
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