Transformada de Laplace. Ecuación de Bernoulli
Enviado por Matias Cortés O • 6 de Noviembre de 2016 • Prácticas o problemas • 569 Palabras (3 Páginas) • 614 Visitas
Ecuación de Bernoulli
Algunas veces al hacer un cambio de variable se logra transformar una ecuación diferencial en lineal, como el ejemplo anterior. Otro situación semejante se presenta para la ecuación de Bernoulli.
| Definición |
| Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma [pic 1] donde [pic 2] y [pic 3] son funciones reales y continuas en un intervalo [pic 4]y [pic 5] es una constante real diferente de [pic 6] y [pic 7] se conoce como ecuación de Bernoulli1.2 |
Observación: cuando [pic 8] la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación separable y cuando [pic 9] se trata de una ecuación lineal, casos ya estudiados.
| Teorema | ||
| La ecuación de Bernoulli
se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución [pic 11]. |
Demostración:
Al dividir la ecuación 1.12 por [pic 12], resulta
[pic 13] | (1.13) |
Usando la regla de la cadena, calculemos [pic 14] a partir de la sustitución [pic 15]
[pic 16]
Sustituyendo en la ecuación 1.13, esta se transforma en
[pic 17]
la cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden, como se quería.
Ejemplo:
Resuelva la ecuación
[pic 18]
Solución
Ésta es una ecuación de Bernoulli con [pic 19], [pic 20] y [pic 21]. Para resolverla primero dividamos por [pic 22]
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