Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de Laplace

Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de Laplace

La transformada de Laplace es una herramienta muy útil para resolver problemas de valor inicial a un  problema  de tipo  algebraico, para el  caso de un sistema de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes es posible obtener un sistema algebraico de ecuaciones cuya solución está relacionada directamente con la solución del sistema original mediante la transformada inversa de Laplace.

El método

Aplicamos el método de la transformada de Laplace para hallar la solución de un sistema de primer orden

��           ��

�1 ��  + �2 ��  + �3 � + �4 � = ��1 (�),[pic 1][pic 2]

(1)

��           ��

�1  �� + �2  �� − �3� + �4 � = ��2 (�),[pic 3][pic 4]

donde �1 ,  �2 ,  �3 ,  �4 ,  �1 ,  �2 ,  �3   y �4   son constantes y ��1   y ��2   son funciones  conocidas  que

satisfacen las condiciones iniciales

�(0) = �1              e            �(0) = �2,                                                   (2)

donde �1     y   �2   son constantes.

Supongamos que �(�) denota la transformada ℒ{�(�)}   e �(�) denota la transformada  ℒ{�(�)}.

Se procede entonces como sigue:

1.   Se toma la transformada de Laplace en ambos miembros de cada una de las dos ecuaciones del sistema (1), se aplica el Teorema de La transformada de una derivada y las condiciones iniciales (2) ; igualando los resultados se obtiene una ecuación algebraica

lineal en las dos incógnitas �(�)  e �(�).

2.   Para determinar explícitamente �(�)    y   �(�)  se resuelve el sistema lineal de  dos

ecuaciones algebraicas obtenido en la etapa precedente.

3.   Una vez halladas �(�)  y  �(�), se emplea la tabla de transformadas para determinar la solución �(�) = ℒ−1 {�(�)}    e   �(�) = ℒ−1 {�(�)}  del problema de valores  iniciales

dado.

Ejemplo 1: Un SED de primer orden con condiciones iniciales

Resolver:

9

�´ =    �[pic 5]

2

�´ = 2�

�(0) = 6,         �(0) = 0

Solución

Aplicamos la transformada de Laplace o cada ecuación del sistema

ℒ{�´} =  9  ℒ{�}               aplicamos la transformada de Laplace

2

ℒ{�′} =  ℒ{�}

�� − �(0) =  9  �            simplificamos

2

�� − �(0) = 2�

�� − 6 =  9  �                   sustituimos �(0) = 6, �(0) = 0

2

�� − 0 = 2�

�� −   9  � = 6   ⋯ (∗)                ordenamos

2

−2� + �� = 0   ⋯ (∗∗)

En este momento, nuestro sistema original de ecuaciones diferenciales se ha transformado en un sistema algebraico y procedemos a resolverlo con los métodos tradicionales. En este caso, aplicamos una eliminación sistemática por suma y resta.

Al multiplicar la ecuación (∗) por 2, la ecuación (∗∗) por �, y sumar, tenemos

2𝑠� − 9� =12

   −2𝑠� +𝑠2 �  = 0 _        

−9�+�2=12

sumar ecuaciones

(�2  − 9)� = 12                            simplificando

Ahora procedemos a resolver para � y aplicamos ℒ−1

� =      12 _         (�2 −9)

resolver para �

�(�) = ℒ−1{�} = 4ℒ−1 {     3     }           aplicamos ℒ−1

�2 −9

�(�) = 4 sinh 3�                                          Simplificamos

Nuestro resultado obtenido par �(�) es:

�(�) = 2� 3�  − 2� −3�

Para obtener la solución correspondiente a �(�)procedemos de manera semejante a la de �(�),

...