Transformadas de Laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE

ECUACIONES DIFERENCIALES

FACULTAD  DE  INGENIER´IA INGENIER´IA  INDUSTRIAL

UNIVERSIDAD LIBRE SECCIONAL BARRANQUILLA BARRANQUILLA - ATLANTICO

MAYO 2018

TALLER DE SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES

1. El objetivo del taller es desarrollar habilidades en la bu´squeda de solucion de un sistema de ecuaciones diferenciales.  una vez haya terminado de realizar este taller.  Usted tendr´a la capacidad de determinar la soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales.

Aplique la transformada de Laplace para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales:

dx[pic 1]

1.    dt

   dt[pic 2]

= −x + y

= 2x

,x(0) = 0, y(0) = 1

  L dx[pic 3][pic 4][pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

= L        −x + y

[pic 8]

f (x) =

L dt        = L        2x

[pic 9]

SX(s) − (0) = −X(s) + Y (s)[pic 10]

  SY (s) − (1)        = 2X(s)

f (x) =

+

 (S − 1)X(s) − Y (s) = 0 =⇒ 5

  −2X(s) + SY (s) =        1 =⇒ (s − 1)[pic 11]

S(s + 1)X(s)        − SY (s) = 0

  −2X(s)        +  SY (s)  =   1 ((s(s + 1)) − 2X(s)                = 1

1        1        A        B

X(s) = (s2 + s − 2) = (s − 1)(s + 2) = S − 1 + S + 2 1 = A(−S + 2) + B(S − 1)[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

S = −2

1 = A(−2 + 2) + B(S − 1)

1 = −3B

−1 = B

3

S = 1

1 = A(−1 + 2) + B(1 − 1)

1 = 3A

1

= A[pic 16]

3

1        1

[pic 17]        [pic 18]

X(s) =      3    −  3

S − 1        S + 2

L −{         S        } = L −{         1        } −         1        }

(S − 1)(S + 2)

3(S − 1)

3(S + 2)

1 L −{         1        } − 1 L −{ 1 } = 1 et − 1 e−2t; t ≥ 0

3        (S − 1)        3        s + 2        3        3

Y (s) = (S + 1)X(S)

Y (s) =

S + 1

(S − 1)(S + 2)[pic 19]

A

=        +

S − 1[pic 20]

B  S + 2

S + 1 = A(S + 2) + B(S − 1)[pic 21]

S = −2

−2 + 1 = A(−2 + 2) + B(−2 − 1)

−1 = −3B

S = 1; 1 + 1 = A(1 + 2) + B(1 − 1)

2 = 3A

2

= A[pic 22]

3

2        1

Y (s) =        +[pic 23][pic 24]

3(s − 1)        3(s + 2)

L −{         S + 1        } = L −{         2        } +         1        }

(S − 1)(S + 2)

3(S − 1)

3(S + 2)

2 L −{         1        } + 1 L −{ 1  }

3        (S − 1)        3        s + 2

= 2 et − 1 e−2t; t ≥ 0[pic 25]

dx

2.  =    dt

[pic 26]

3        3

= 2y + et

,x(0) = 1, y(0) = 1

   dt

= 8x − t                 

  L dx[pic 27][pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

= L        2y + et

[pic 31]

f (x) =

L dt        = L        8x − t          

SX(s)        X(0) =    2Y (s) +    1[pic 32]

S−1

 SY (s) − Y (0) =        8X(s) − 1 [pic 33]

  SX(s) − 1 =    2Y (S) +    1 

f (x) =[pic 34]

f (x) =

S−1

  1

S2[pic 35]

...