Ecuación de Laplace

Ecuación de Laplace[pic 1]

[pic 2]

INDICE

ECUACION DE LAPLACE

• Ecuaciones de Poisson y de Laplace.
• Formas explicitas de la ecuación de Laplace.
• Teorema de la Unicidad.
• Teoremas del valor medio y del valor máximo.
• Soluciones cartesianas en una variable.
• Solución del producto cartesiano.[pic 3]

ONDA PLANA UNIFORME – ONDAS ELECTROGNETICAS • Introducción.

• La propagación de la onda en el espacio libre.
• Propagación de ondas en dieléctricos.
• El teorema de Poynting y la potencia de las ondas
• Propagación en buenos conductores: el efecto de la piel.
• Polarización de la onda.

La ecuación de Laplace se desarrollo para obtener la función potencial V dadas las condiciones de frontera de los conductores.[pic 4]

Permiten encontrar campos de potencial

dentro de regiones encerradas por

Introducción        potenciales o densidades de carga conocida.[pic 5][pic 6]

Cuando la función potencial no es conocida en toda la región pero se conocen los materiales conductores, en forma de planos superficies curvas o líneas y el voltaje sobre uno de ellos con respecto  alguna referencia que es a menudo uno de los otros conductores.[pic 7]

[pic 8]

Coordenadas Cartesianas[pic 9][pic 10]

Ecuación de Laplace[pic 11]

► Es un caso particular para volúmenes de un dieléctrico perfecto (vacío, aire) donde no hay densidades ni conducción de carga volumétrica la ecuación de Poisson se transforma en la ecuación de Laplace, por lo tanto, la densidad volumétrica será igual a o.

[pic 12]

Formas explicitas de la ecuación de Laplace

Coordenadas cartesianas.

[pic 13]

Para un campo general A.[pic 14]

[pic 15]

Por consiguiente, la ecuación de Laplace es:

[pic 16]

Coordenadas cilíndricas.

y        [pic 17]

De tal manera que la ecuación de Laplace es:

[pic 18]

Coordenadas esféricas.[pic 19]

y        [pic 20]

De tal manera que la ecuación de Laplace es:

[pic 21]

Teorema de unicidad

Se tiene soluciones de la ecuación de Laplace, 𝑉1 y 𝑉2, por consiguiente:

        [pic 22]        De lo cual        [pic 23]

Cada solución debe satisfacer las condiciones de frontera. [pic 24]

Valores de potencial sobre la frontera → 𝑉𝑏

        o        [pic 25]

Identidad vectorial

[pic 26]

Es valida para cualquier escalar V y cualquier vector D.

[pic 27]

Ahora, se anula por hipótesis la primera integral del lado derecho de la igualdad, por consiguiente la segunda [pic 28]

        →        →

Teoremas del valor medio y del valor máximo[pic 29]

Teorema del valor medio

• En el centro de un circulo o esfera inscritos, el potencial V es igual al promedio de los valores que asume sobre el circulo o esfera.
• Llamase Vc al potencial generado en el centro de la esfera o circulo.[pic 30]
• La ecuación de Laplace nos permite la superposición de soluciones

[pic 31][pic 32]

• Al superponer “n”         ► La solución única en “b” es problemas del tipo “a” el         𝑉=𝑉1

        resultado es el tipo “b”.        𝑛𝑉𝑐 =𝑉1

𝑉1

• Debido a la simetría         ó 𝑉𝑐 =[pic 33]

        rotacional, cada         𝑛[pic 34]

subproblema de “b” tiene el mismo potencial “Vc” en el centro del circulo.

• El potencial total es “nVc”.

• Se tiene “n” valores diferentes sobre “n” segmentos iguales de un circulo, formando una superposición.

        𝑉        𝑉        𝑉[pic 35]

𝑉𝑐

        𝑛        𝑛        𝑛[pic 36]

𝑉1 +𝑉2 +⋯+𝑉𝑛

[pic 37]

𝑛

►Esto es el teorema del valor medio para este caso especial.

𝑉𝑐 [pic 38]

Teorema del valor máximo

► El potencial “V” no puede         ►Se alcanza un máximo en tener un máximo dentro de la         un punto “P”, tal que el región. Cualquier máximo         potencial “Vc” en “P” debe ocurrir en el limite de la         exceda el potencial en región ya que “V” cumple con         cada punto de la esfera. Laplace.[pic 39]

        𝜕2𝑉 𝜕2𝑉 𝜕2𝑉        ►Entonces “Vc” excederá

        [pic 40]2 +[pic 41]𝜕𝑦2 +[pic 42]𝜕𝑧2 =0        al valor promedio de la

𝜕𝑥

esfera. ► Entonces los componentes de intensidad toman sus valores máximos.

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