Uso de MATLAB para análisis de números complejos

Universidad Tecnológica de Panamá Introducción a la Teoría de Control Experiencia nº2

Uso de MATLAB para análisis de números complejos

Objetivos:

1. Familiarizarse en el entorno de MATLAB como herramienta de asistencia para cálculos matemáticos.[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]
2. Reforzar conceptos de números complejos
3. Resolver ejercicios matemáticos con mayor rapidez gracias al uso de MATLAB

Marco Teórico:

Una herramienta de uso muy común en la ingeniería, en particular en diversas ramas relacionadas con electricidad (dentro de las cuales figura el control) son los números complejos. Estos números se caracterizan por tener tanto una parte real como una imaginaria. El concepto del número imaginario surge con el tema de encontrarle una raíz cuadrada a números negativos:

√−1 = 𝑖

De manera general podemos expresar un número imaginario como:

𝑎 + 𝑏𝑖

Esta forma de expresar un número complejo recibe el nombre de “forma rectangular”. Pueden ser representados gráficamente en un sistema de ejes coordenados, donde uno de ellos será el eje real y el otro el imaginario.

Para sumar o restar dos números complejos, sumamos o restamos las partes reales y las imaginarias por separado.

(𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑐) + 𝑗(𝑏 + 𝑑) (𝑎 + 𝑏𝑖) − (𝑐 + 𝑑𝑖)  =  (𝑎  −  𝑐)  +  𝑗(𝑏  − 𝑑)

Para la multiplicación se hace uso de la propiedad distributiva:

(𝑎 + 𝑏𝑖) ∗ (𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖2 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖

Otro concepto importante es el conjugado complejo:

𝐶 = 𝑎 + 𝑏𝑖

𝐶∗      = 𝑎 − 𝑏𝑖

Haciendo uso del concepto del conjugado complejo podemos entonces efectuar la división de dos números complejos:[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

[pic 11]

Además de estas operaciones, también cabe mencionar lo que conocemos como “representación polar” de los números complejos.

Describimos el número complejo empleando la magnitud “r” y el ángulo que se crea con el eje real. Este ángulo recibe el nombre de “argumento” del número complejo Z, mientras que “r” es la magnitud del número Z.

Ejemplos

Con MATLAB, existen varias formas de escribir números complejos. Supongamos que queremos escribir el número 2 + 3i y nombrarlo como “z”:

>> z= 2+ 3i

z =

2.0000 + 3.0000i

Otra forma de lograr esto sería utilizar el comando “complex”:

>> complex(2,3)

ans =

2.0000 + 3.0000i

Podemos obtener también el conjugado complejo de este número:

>> conj(z)

ans =

2.0000 - 3.0000i

Si deseamos, podemos obtener la magnitud y argumento de este número debemos extraer la parte real e imaginaria del mismo. Posterior a eso, se emplea el comando cart2pol para pasar a polar el número:[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

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