Numeros Complejos

1. Números complejos:

Unidad imaginaria

La unidad imaginaria es el número y se designa por la letra i.

Números imaginarios

Un número imaginario se denota por bi, donde:

b es un número real

i es la unidad imaginaria

Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo.

x2 + 9 = 0

Representación de números complejos

• Teoría

• Ejercicios

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos.

El eje X se llama eje real.

El eje Y se llama eje imaginario.

El número complejo a + bi se representa:

1 Por el punto (a, b), que se llama su afijo.

2 Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b).

Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X.

Los afijos de los números imaginarios se sitúan sobre el eje imaginario, Y.

Operaciones con números complejos

• Teoría

• Ejercicios

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Ejemplo:

(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i ) =

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

Multiplicación de números complejos

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.

(a + bi) • (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

Ejemplo:

(5 + 2 i) • (2 − 3 i) =

= 10 − 15i + 4i − 6i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

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División de números complejos

El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.

Ejemplo:

Números complejos en forma polar y trigonométrica

• Teoría

• Ejercicios

Módulo de un número complejo

El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

Argumento de un número complejo

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).

Para calcular el argumento, calculamos el arcotangente de b/a prescisdiendo de los signos, para ubicar el cuadrante en que se encuentra tendremos en cuenta:

Expresión de un número complejo en forma polar

z = rα

|z| = r (r es el módulo)

arg(z) = α (α es el argumento)

Ejemplos de conversión de la forma polar a la forma binómica:

z = 2120º

Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma trigonométrica:

z = rα = r (cos α + i sen α)

Números complejos iguales, conjugados, opuestos e inversos

• Teoría

• Ejercicios

Números complejos iguales

Dos números complejos son iguales si tienen el mismo módulo y el mismo argumento.

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