NUMEROS COMPLEJOS

TEMA:

Historia y concepto el numero complejo.

En este breve pero consiso ensayo abordaremos el tema de los numeros complejos de como dia a dia se fue estructurando cada parte de ello nos dice que se el primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no euclídea, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica.

Nos dice tambien que los numeros complejos son conjuntos de numeros reales, estas las podemos ver como numeros reales o imaginarios, es un tipo especial de número complejo, identificándose a con a + 0i.

Debido a estas fórmulas nos podemos guiar de como son los números complejos y de que se abordara.

HISTORIA Y ANTECEDENTES DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

(Lehmann, Charles M., 2008) Podemos decir que los números complejos aparecieron muy temprano en el paisaje de las matemáticas, pero fueron ignorados sistemáticamente, por su carácter extraño, carentes de sentido e imposibles de representar. Aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo la ecuación:

x2+x+5=0

Nos dice que los números reales son un subconjunto propio de los números complejos C. porque en (i) y (ii) hacemos b=d=0, se ve que las primeras componentes se combinan exactamente como los números reales a y c. asi, pues, la aplicación a-(a, 0) es un isomorfismo de R sobre un cierto subconjunto (a, b); a E R,b 0)de C.

Los elementos a,c e C en los que b =(r se dicen números imaginarios y si a=0, (a, b) es un numero imaginario puro.

Para cada número complejo; - (a,b) se define el numero complejo = (a,b) = (a-b) que se llama conjugado del z. evidentemente todo número real es su propio conjugado en tanto que el conjugado de un imaginario es su opuesto.

ORIGEN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS.

(Bernard Kalman, 2006) Origen de los Números Complejos: La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo como resultado de una imposible sección de una pirámide.

El gran matemático Diofanto (275 d.C.) construyó un triángulo con una cuerda en la que había realizado 12 nudos (equidistantes). Los lados medían 3 , 4 y 5 .

Evidentemente el triángulo es rectángulo, cumple el teorema de Pitágoras:

32 + 4 2 = 5 2

Al ser un triángulo rectángulo es fácil comprobar que el área es 6 unidades.

Con la misma cuerda trató de construir otro triángulo rectángulo de forma que su área fuese 7 unidades. Su planteamiento fue el siguiente:

• un cateto mediría x

• Como el área debía ser 7, el otro cateto será 14x .

• La hipotenusa debe cumplir el teorema de Pitágoras x2 + 14 X ⎛⎝ ⎜

⎞⎠ ⎟2= h 2 pero por otra parte la suma de sus lados debe ser 12: x+14x + h = 12Por tanto se debe cumplir la ecuación: x2 +196x2 = 12 -x-14x⎛⎝ ⎜⎞⎠ ⎟2

De donde se obtiene: 6x2 -43x+84 = 0

Cuya solución Diofanto expresó como:

43 ± 167/12 -1

Separando la fracción obtenemos:

43/12±167/12-1

Pero no conocía ningún número que elevado al cuadrado fuese igual a -1 , por tanto, el problema no tenía solución.

Por tanto se debe cumplir la ecuación: x2 +196x2 = 12 -x-14x⎛⎝ ⎜⎞⎠ ⎟2

De donde se obtiene: 6x2 -43x+84 = 0

Cuya solución Diofanto expresó como: 43 /12± 167/12 -1

Separando la fracción obtenemos: 43/12±167/12-1

Pero no conocía ningún número que elevado al cuadrado fuese igual a -1 , por tanto, el problema no tenía solución.

En 1777 el matemático suizo Leonhard Euler (1707 - 1783) simbolizó la raíz cuadrada de –1 con la letra i por imaginario. ∴ i2 = −1

Esta idea también sugerida por Jean-Robert Argand que describió en

1806, mientras atendía una tienda de libros en París, la representación geométrica de los números complejos, publicando la idea de lo que se conoce como plano de Argand, que más tarde fue utilizada por Carl Friedrich

Gauss para dar la interpretación geométrica de los números complejos.

Gauss, en su tesis doctoral de 1799, demostró su famoso teorema fundamental del álgebra, que dice que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja.

En 1825, continuando con el estudio de las funciones complejas, el matemático francés Augustin L. Cauchy generalizó el concepto de integrales definidas de funciones reales para funciones de variable compleja.

(Larson.Edwards, 2010) Un número complejo es un número de la clase a + bi en donde a y b son reales. si a es cero el número complejo se reduce a un número imaginario puro. Si b es cero se reduce a un número real.

Los números reales R y los números imaginarios puros I son casos especiales de los números complejos C.

DEFINICIÓN 1.2: Igualdad de Números Complejos: Dos números complejos a + bi y c + di son iguales ⇔ y

(Navarro, 2011) Los números complejos son las parejas de números reales z = x + yi (donde x 2 R se llama parte real de z e y 2 R se llama parte imaginaria) que se suman y multiplican con las siguientes reglas (i2 = ¡1): (x1 + y1i)+(x2 + y2i) = (x1 + x2) + (y1 + y2)i (x1 + y1i)¢(x2 + y2i) = (x1x2 ¡ y1y2) + (x1y2 + x2y1)i

El conjunto de todos los números complejos se denota C. El conjugado de un número complejo z = x + yi es el número complejo

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