Numeros Complejos

Espacio Vectorial y Números Complejos

Números Complejos

Un número complejo está compuesto de dos números, una parte real R y una parte imaginaria I; la parte real está sola, mientras que la parte imaginaria estará acompañada por i o j que representa a −1−−−√. Así pues, un número complejo se puede escribir de la siguiente manera:

a+bi

Espacio Vectorial

Un espacio vectorial es un conjunto de elementos que a través de ciertas operaciones, puede crear cualquier posibilidad dentro del espacio. Por ejemplo si quisiéramos definir un espacio vectorial { , } los elementos que naturalmente escogeríamos serían y , así pues si quisiéramos obtener por ejemplo 3 y 2 solo tendríamos que hacer la siguiente operación:

3 + 2

Sin embargo, si escogemos como elementos y 2 , no habría combinación de estos dos elementos que nos pudieran dar como resultado 3 + 2 . Por otro lado, si elegimos como elementos básicos a ( + ) y a ( + 0.5 ) podemos hacer la siguiente operación:

( + ) + 2 ( + 0.5 ) = 3 + 2

Y estos elementos también crean un espacio vectorial para el espacio { , }, sin embargo no es una buena idea tener elementos tan complejos, debido a lo complicado que terminarían siendo los cálculos.

También hay que notar otra característica de los elementos que forman el espacio vectorial, no se debe de poder formar uno de estos elementos con alguna combinación de los demás; por ejemplo, si escogemos los elementos y , podemos ver claramente que no podemos formar con ninguna combinación de , ni podemos formar con ninguna combinación de .

Hasta el momento habíamos evitado nombrar a los elementos que conforman al espacio vectorial para comprender el concepto claramente, ahora podemos decir que son elementos base, y como su nombre lo indica conforman la base del espacio vectorial. Así mismo decimos que una base conforma a un dado espacio vectorial, si la combinación lineal de los elementos base puede conformar cualquier elemento del espacio (es decir que la suma de múltiplos de los elementos base pueden formar cualquier elemento del espacio), y si los elementos base son linealmente independientes entre ellos (es decir que ninguno se pueda expresar como la suma de múltiplos de los otros elementos bases).

Espacio Vectorial R

Existe un espacio vectorial denotado por R que se compone por {R}, es decir tiene una sola componente y es un número real y con la combinación lineal de los elementos base de R se pueden formar cualquier número real. A los elementos de este espacio vectorial los llamamos vectores, y debido a que los compone solo un elemento pueden expresar una dimensión solamente. Este espacio vectorial lo usamos todo el tiempo, es el espacio vectorial donde viven todos los números, los que usamos para contar, para hacer cálculos, etc.

Espacio Vectorial R2

Existe un espacio vectorial denotado por R2 que se compone por {R,R}, es decir, que tiene dos componentes reales, y con la combinación lineal de sus elementos base se puede formar cualquier elemento en R2. A los elementos de este espacio vectorial los llamamos vectores también, pero estos elementos pueden expresar 2 dimensiones, es decir, existen un plano. Este espacio vectorial lo usamos cuando queremos hacer operaciones que impliquen más de una dimensión, como por ejemplo coordenadas en un plano, cálculos trigonométricos, etc.

Espacio Vectorial C

Existe un espacio vectorial denotado por C y sus componentes son {R,I}, así pues, todos los números complejos pueden ser expresados por una combinación lineal de estos elementos base. A los elementos del espacio vectorial C les llamamos fasores y son la base para poder hacer cálculos en diferentes áreas de la ingeniería en las que se involucran

...