Numeros Complejos

Trabajo de investigación

Números complejos

El concepto de número imaginario fue desarrollado por Leonard Euler en 1777, cuando le otorgó a v-1 el nombre de i (de “imaginario”).

Los números complejos van después de los reales (estudia conjuntos Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales, Reales) o abarcan todos los demás conjuntos numéricos (en los que se clasifican los números). Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario (se representan con una i)

• Un numero complejo es de la forma a + bi donde a y b son números reales.

Si a = 0 se obtiene un numero (bi) imaginario

Si b = 0 se obtiene un numero real (a)

La forma de a + bi se la denomina forma rectangular de un numero complejo.

La parte real del numero complejo es a y la parte imaginaria es b.

La noción de número complejo aparece ante la imposibilidad de los números reales de abarcar a las raíces de orden par del conjunto de los números negativos. Los números complejos pueden, por lo tanto, reflejar a todas las raíces de los polinomios, algo que los números reales no están en condiciones de hacer.

Un complejo se puede escribir como:

Y gráficamente se ve como:

Igualdad de números complejos

Si a +bi y c + di son numeros complejos, entonces a + bi = c + di si y solo si a = c y b = d

Ejemplo:

Hallar los valores de x e y en la expresión

4 + 3i = 7i + x +2 + yi

Reordenando se obtiene:

x + yi = 4 + 3i – (2 + 7i)

x + yi = 2 – 4i

Por lo tanto, x = 2 e y = 4i ya que las partes reales e imaginarias deben ser reales.

Conjugado de un número complejo

El conjugado de un numero complejo a + bi es el numero complejo a – bi

Ejemplos

El conjugado de 3 + 4i es 3 – 4i

El conjugado de 5 – 2i es 5 + 2i

El conjugado de -7i es 7i porque -7i = 0 – 7i

El conjugado de 15 es 15 porque 15 = 15 – 0

Opuesto de un número complejo

Se denomina el opuesto de un número complejo al que se obtiene del cambio de signo tanto a la parte real como a la imaginaria.

Ejemplos

El apuesto de 6 = 4 + 8i es -6 = -4 – 8i

El apuesto de -4 = 5 – 3i es 4 = -5 + 3i

Imaginario Puro y Real Puro

Cuando a = 0 queda

Z1 = 0 + bi

Y se denomina Imaginario Puro

Ejemplo

Z1 = -5i

Por otra parte si b = 0 se tiene un Real Puro

Ejemplo

Z2 = 7 + 0i Z2 = 7

Representación grafica de los números complejos

•El plano complejo

•Los números reales completan la recta numérica; por lo tanto para presentar números no reales hay que salir de la recta real y recurrir al plano complejo. En el plano complejo, el eje de las abscisas es el eje real y el de las ordenadas, el eje imaginario.

•El número complejo se representa mediante una flecha con origen (0; 0) y cuyo es el extremo de la ordenada (a; b).

•La componente real a se representa en el eje real y la componente b, en el eje imaginario. La flecha es un vector. Todas las propiedades de los vectores las cumplen también los números complejos.

•Así se representa z = a + bi en el plano complejo:

•Se presentan dos

...