Vectores y matrices. Conceptos

Tema 3: Vectores y matrices. Conceptos

básicos

1. Definición

Matlab está fundamentalmente orientado al trabajo y el cálculo matricial.

Veremos que las operaciones están definidas para el trabajo con este tipo de

elementos. Antes de empezar a manejar y operar con ellas veamos cómo se definen.

Como en casi todos los lenguajes de programación, en Matlab las matrices y

vectores son variables a las que se les puede dar nombres. Para definir una matriz no

hace falta establecer de antemano su tamaño (de hecho, se puede definir un tamaño y

cambiarlo posteriormente). Matlab determina el número de filas y de columnas en

función del número de elementos que se introducen (o se utilizan). Las matrices se

definen con los elementos entre corchetes y por filas; los elementos de una misma fila

están separados por blancos o comas, mientras que las filas están separadas por

pulsaciones intro o por caracteres punto y coma (;).

Por ejemplo, el siguiente comando define una matriz A de dimensión (3x3):

>> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

La respuesta del programa es:

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Veamos en el Workspace como las almacena Matlab (figura 12):

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Figura 12

A partir del momento en que tenemos definidas diversas matrices, se pueden

operar. Matlab puede hacer esto por medio de operadores o por medio de funciones.

2. Operaciones elementales

Operaciones básicas como suma, producto o trasposición de hacen como se

muestra a continuación, permitiéndose algunas operaciones no definidas

matemáticamente:

Operador suma (+)

Utilizado entre matrices de iguales dimensiones, obtiene la suma elemento a

elemento. Utilizado entre una matriz y un escalar, suma el escalar a cada elemento de

la matriz.

Operador resta (-)

Idéntico a la suma en su utilización.

Operador producto (*)

Utilizado entre matrices calcula el producto matricial. Las dimensiones de las

matrices deben ser congruentes. Utilizado entre una matriz y un escalar, multiplica el

escalar por cada elemento de la matriz.

Operador producto elemento a elemento (.*)

Se utiliza entre dos matrices de iguales dimensiones y multiplica elemento a

elemento, obteniendo otra matriz de igual dimensión.

Operador potenciación (^)

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Si c es un entero y A es una matriz cuadrada, A^c calcula el producto A*A*A

.............. *A, c veces.

Operador potenciación elemento a elemento (.^)

A.^B da como resultado una matriz cuyo elemento ij es aij^bij.

A.^c da como resultado una matriz cuyo elemento ij es aij^c.

c.^A da como resultado una matriz cuyo elemento ij es c^aij.

Operador división (/) (\)

En Matlab existe el operador división a la derecha (/) y división a la izquierda

(\).

La utilización entre matrices es la siguiente:

- \ división-izquierda: A\B

Si A es cuadrada A\B=inversa(A)*B. Si A no es cuadrada A\B es la solución en

el sentido de mínimos cuadrados del sistema AX=B.

- / división-derecha: A/B

Si B es cuadrada A/B=A*inversa(B). Si B no es cuadrada, A/B es la solución del

sistema XB=A.

Operador división elemento a elemento (./) (.\)

A./B da como resultado una matriz cuyo elemento ij es aij /bij.

A.\B da como resultado una matriz cuyo elemento ij es bij /aij.

Operador traspuesta (‘)

A’ da como resultado la matriz transpuesta de A.

3. Operaciones por medio de funciones

En menú de la ayuda: matlab\elmat - Elementary matrices and matrix

manipulation y matlab\matfun - Matrix functions - numerical linear algebra, se pueden

encontrar las diversas funciones que se aplican a las matrices. Destacamos las más

elementales como:

inv(A) da como resultado la matriz inversa de A.

det(A) da como resultado el determinante de A.

trace(A) da como resultado la traza de A.

rank(A) da el rango de A

Debe destacarse que la mayoría de las funciones definidas en el programa se

ejecutan sobre cualquier matriz aplicándose elemento a elemento.

Por ejemplo:

>> Sin(A)

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Ofrece como respuesta una matriz del mismo tamaño que A cuyos elementos

son el seno del correspondiente elemento de A:

0.8415

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