Área bajo la curva y asíntotas de una función impropia

Trabajo de calculo

Universidad de Cuenca

Tema: área bajo la curva y asíntotas de una función impropia

Danny Fernando Murillo Rivera

danny.murillo@ucuenca.edu.ec 

RESUMEN: Se busca analizar la función  en busca de su rango, recorrido, área bajo la curva y asíntotas.[pic 1]

1. INTRODUCCIÓN

Aplicaremos los conocimientos aprendidos en el capitulo 5, sobre integrales impropias, en busca de obtener el área bajo la curva de la función y además conocer sus asíntotas.

1. MARCO TEORICO

• Asíntotas

Las asíntotas son líneas rectas que, prolongadas indefinidamente, se acercan progresivamente a una curva sin llegar nunca a encontrarla.

En este caso tenemos dos asíntotas, una vertical y una horizontal.

La asíntota vertical seria el valor de x que haga el denominador sea 0. Y se trazaría una asíntota perpendicular al eje x en ese punto.

Las asíntotas horizontales son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente , son rectas de ecuación y=k

• Área bajo la curva

Consideremos una función  continua en un intervalo cerrado  y además , . El área de una región R limitada por la curva  , el eje x y las recta  y , está dada por la expresión:[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

[pic 9]

En esta función el intervalo no es cerrado, y se debe aplicar los conceptos de integrales impropias para encontrar el área bajo la curva.

Entonces sí,  es una función continua en  pero en un  donde , donde  está definida dentro de la función, entonces a la integral impropia   la definiremos por:[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

[pic 16]

Si al resolver la integral el limite existe demostraremos que la integral es convergente , caso contrario demostraremos que es divergente.

1. DESARROLLO DEL PROYECTO

Primero encontraremos las asíntotas de la función:

[pic 17]

Cuando la variable x de la función toma valores de 1 o 0 la función se vuelve  y por lo tanto existe una asíntota vertical em dichos puntos. [pic 18]

Para encontrar las asíntotas horizontales haremos que la función tienda a más infinito y menos infinito:

[pic 19]

[pic 20]

El límite nos dio 0 por lo tanto existe una asíntota horizontal en x=0.

La grafica de la función seria la siguiente:

[pic 21]

Sabiendo esto encontraremos el área bajo la curva teniendo en cuenta que sus límites de integración son de 0 a 1:

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

Realizamos un cambio de variable. [pic 25]

Derivando esto tenemos:

[pic 26]

[pic 27]

Por propiedades sabemos que la integral es igual al seno inverso:

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

Tenemos la primera parte de nuestra integral, a ser el mismo procedimiento la segunda parte sabemos que:

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

Ahora sumamos las dos partes:

[pic 34]

La solución al ejercicio es :

[pic 35]

1. RECOMENDACIONES

Antes de resolver el ejercicio asegurarnos de encontrar las asíntotas de la función para tener claros nuestros limites de integración y además saber en donde la función existe y donde no para así poder aplicar correctamente los conceptos de integral impropia.

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