Determinación del área bajo la curva de una

Determinación del área bajo la curva de una función[pic 1]

Alumno: sergio fragoso Montenegro

Grupo: #501

Maestra: azucena serrano coral

Materia: Análisis integral de funciones

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Determinación del área bajo la curva de una

 Función

A velocidad, la aceleración constante y muchos otros conceptos físicos y matemáticos se pueden resolver con la ayuda del área bajo la curva respectiva. El primer paso basado en el concepto integral implica formular el área debajo de la gráfica de la función. El área aproximada debajo del gráfico de la función se puede representar mediante un pequeño rectángulo con una altura y un ancho fijos, que es igual al valor de la función en el medio del intervalo correspondiente. Área = fi x

Aquí f (x) es una función de x. Cabe señalar que cuanto menor sea el ancho del rectángulo, mejor será la aproximación.

El rectángulo puede ser un rectángulo interior o un rectángulo exterior. Suma las áreas de todos los rectángulos para obtener el área final debajo del gráfico de la función.

Para reducir la carga de trabajo de sumar todos los rectángulos a cada área, se propone el concepto de integral definida.

El área bajo el gráfico de función se puede determinar realizando una integración definida entre puntos dados.

El área exacta bajo el gráfico de la función puede ser ejemplificada con la ayuda de las integrales definidas:

Área = f(x) dx

La expresión puede ser más simplificada como:

  f(x) dx = [F(x)]ba= F(b) – F(a)  

El resultado es positivo en el caso que la curva esté por encima del eje x y es negativo cuando la curva se encuentra por debajo del eje x.

Ejemplos:

Ahora suponga que el área del gráfico y = 7 – x2entre x = −1 y x = 2 está por ser determinado.

Podemos proceder de la forma siguiente:

Área = (7 – x2) dx

= | (7x – 1/3 x3)|−12

= [7. 2 – 1/3(8)] – [7 (−1) – 1/3 (−1)]

= 18

Si el área será calculada con respecto al eje y, entonces, la integración se lleva a cabo con relación a y en lugar de x. Es decir, la fórmula se convierte en:

Área = f(y) dy

Por ejemplo: Supongamos que el área de la curva está limitada por la ecuación, y =5, y = 1 y por el eje y.

Para esto, debemos expresar a x como una función de y

y =

y2 = x – 1

x = y2 + 1

Por tanto, el área puede ser calculada como:

Área = (y2 + 1) dy

= [ + y]15

= 45 1/3 unidades cuadradas.

Graficación e interpretación de funciones

Los gráficos funcionales son como retratos funcionales. Nos ayuda a comprender cómo la función transforma el valor que le asignamos.

A partir de la gráfica de la función podemos encontrar el dominio, el contra dominio, describiendo su comportamiento: dónde aumenta, dónde disminuye, dónde se vuelve cero, dónde tiene un valor mínimo o máximo, etc.

Para dibujar un gráfico de función de la manera más simple, simplemente reemplace el valor de x en la función y calcule el valor correspondiente de y, luego ubique estos puntos en el sistema de coordenadas rectangulares y conecte estos puntos a través de una curva suave.

Ejemplo:

grafica la función: y = x.

La gráfica de esta función es inmediata. Esta función, estrictamente hablando, no transforma los valores de x que le damos.

En palabras dice: el mismo valor que me des de x, se lo asignaré a la variable y, sin hacerle ningún cambio.

En realidad no requerimos tabular distintos valores de x y calcular los valores de y. La gráfica de esta función forma un ángulo de 45° con ambos ejes:

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Grafica la función: y = x + 1.

La gráfica de esta función es hermana de la anterior.

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