El área bajo una curva

2.1.2 El área bajo una curva

Enseguida, graficaremos una función en un intervalo [a,b] y se mostrará el área contenida entre su gráfica y el eje x en el intervalo dado. Observa la siguiente gráfica.

f(x)= x2 + 1

en el intervalo cerrado [1,5]

Igual que con el problema de la tangente, empezaremos por hacer aproximaciones. Aproximaremos el área bajo la curva con el área de ciertos rectángulos.

Observa las siguientes gráficas:

Como pudiste ver en las gráficas anteriores, con los primeros rectángulos estamos sobreestimando el valor del área y con los segundos rectángulos la estamos subestimando.

A continuación calcularemos aproximaciones cada vez mejores, tomando cada vez más y más rectángulos.

Observa las siguientes animaciones.

El valor exacto del área es:

136

Área = ________________________________________ aprox. igual 45.3333

3

Los resultados anteriores parecen indicar que conforme el número n de rectángulos crece, (n---> ), el valor del área de los rectángulos tanto por la izquierda como por la derecha se acercan a un mismo número. Vamos a cuantificar y a formalizar las ideas expuestas anteriormente.

Dada una función f(x)>0 en un intervalo [a,b], para encontrar el área bajo la curva procedemos como sigue:

1. Hacemos una partición (dividimos) del intervalo [a,b] en n-subintervalos iguales de longitud x=(b-a)/n. Esta será la longitud de la base de cada uno de los n rectángulos.

2. En cada subintervalo escogemos un valor especial de x para evaluar la función. A este valor lo denotamos como x* y entonces f(x*) es la altura del rectángulo en ese subintervalo.

3. Ahora sumamos las áreas de los n rectángulos. El área de los n rectángulos es entonces:

n

[ f(x*)( x)]

k=1

A la sumatoria anterior se le conoce como Sumatoria de Riemann.

Definimos el área bajo la curva como:

Límite de la sumatoria de Riemann cuando n tiende a Infinito.

Para ejemplificar lo anterior, ahora se calculará la suma de Riemann como función de n, el número de rectángulos. También se calculará el límite cuando n--> , cuyo valor es, por definición, el área bajo la curva.

f(x)= x2 + 1

5-1 4

x= ________________________________________ = ________________________________________

n n

x0= 1

x1= 1 + x = 1+ 4

________________________________________

n

x2= 1 + 2 x = 1 + 2( 4 )

________________________________________

n

(...)

4

xk= 1 + k x = 1 + k( ________________________________________ )

n

Si escogemos el extremo derecho de los subíntervalos, tendríamos que

4k

xk* = xk = 1+ ________________________________________

n

4k 1 + (1 + 4k )2

f(xk*) = f( 1 + ________________________________________ ) = ________________________________________

n n

[ 4k ](4/n)

f(xk*) x = 1 +(1+ ________________________________________ )2

n

Desarrollando la expresión anterior, nos queda:

8(17n2 + 18n + 4)

La suma de Riemann = ________________________________________

3n2

136 48 32

La suma de Riemann = ________________________________________ + ________________________________________

...