El área bajo una curva
Enviado por daniellol • 11 de Septiembre de 2014 • Trabajos • 531 Palabras (3 Páginas) • 228 Visitas
2.1.2 El área bajo una curva
Enseguida, graficaremos una función en un intervalo [a,b] y se mostrará el área contenida entre su gráfica y el eje x en el intervalo dado. Observa la siguiente gráfica.
f(x)= x2 + 1
en el intervalo cerrado [1,5]
Igual que con el problema de la tangente, empezaremos por hacer aproximaciones. Aproximaremos el área bajo la curva con el área de ciertos rectángulos.
Observa las siguientes gráficas:
Como pudiste ver en las gráficas anteriores, con los primeros rectángulos estamos sobreestimando el valor del área y con los segundos rectángulos la estamos subestimando.
A continuación calcularemos aproximaciones cada vez mejores, tomando cada vez más y más rectángulos.
Observa las siguientes animaciones.
El valor exacto del área es:
136
Área = ________________________________________ aprox. igual 45.3333
3
Los resultados anteriores parecen indicar que conforme el número n de rectángulos crece, (n---> ), el valor del área de los rectángulos tanto por la izquierda como por la derecha se acercan a un mismo número. Vamos a cuantificar y a formalizar las ideas expuestas anteriormente.
Dada una función f(x)>0 en un intervalo [a,b], para encontrar el área bajo la curva procedemos como sigue:
1. Hacemos una partición (dividimos) del intervalo [a,b] en n-subintervalos iguales de longitud x=(b-a)/n. Esta será la longitud de la base de cada uno de los n rectángulos.
2. En cada subintervalo escogemos un valor especial de x para evaluar la función. A este valor lo denotamos como x* y entonces f(x*) es la altura del rectángulo en ese subintervalo.
3. Ahora sumamos las áreas de los n rectángulos. El área de los n rectángulos es entonces:
n
[ f(x*)( x)]
k=1
A la sumatoria anterior se le conoce como Sumatoria de Riemann.
...