Area Bajo La Curva

INTRODUCCION

La estadística es una disciplina que proporciona principios y herramientas para emitir juicios sobre colectivos basados en datos obtenidos para propósitos específicos. Es decir, brinda el soporte para saber que datos obtener, como, cuando, como obtenerlos, y una vez obtenidos proporciona métodos y y procedimientos para organizarlos con diferentes propósitos.

La correspondencia entre los análisis aplicados y datos recabados permite construir juicios concluyentes sobre el colectivo en estudio.

Los datos que precisamos deben ser generados, de alguna forma, la cual siempre esta asociada a la definición de variables, que constituyen los conceptos de referencia mas importante en los inicios de una investigacion

AREA BAJO LA CURVA

AREAS BAJO LA CURVA NORMAL

Conceptos preliminares:La Distribución Normal:

Es una distribución cuyas variables aleatorias pueden tomar un número infinito deposibles valores, o cuyas diferencias entre si pueden ser infinitesimales; por lo tanto esuna distribución continua, ya que sus variables pueden medirse con el grado deprecisión que se desee.Algunos ejemplos de variables continuas son las medidas de:. Tiempo (años, meses, días, horas, minutos, segundos, etc.). Distancia (Km, metros, centímetros, milímetros, etc.). Estatura. Peso. Coeficiente intelectual CI (IQ)

Importancia de la Distribución Normal:

•Existen numerosas variables que parecen seguir una forma similar a ladistribución normal (pesos, alturas, coeficientes intelectuales, calificaciones enexámenes, etc.)

•La distribución muestral de muchos estadígrafos muestrales como la mediatienen una distribución aproximadamente normal e independiente de laconfiguración de la población, si los datos son suficientemente numerosos.

•Es una excelente aproximación a otras distribuciones muestrales como la dePoisson y Binomial, por ejemplo.

•La Función Normal:

Es una curva lisa, de forma acampanada y unimodal.

Se dice que una variable x numérica de experimentación con media aritmética probabilística

xµ y desviación estándar probabilística positiva x σ sigue una distribución normal o es una variable normal si tiene definida una función densidad de probabilidad dada por (1.2). En este caso su probabilidad rayo del tipo.

≤k está dada por

En las fórmulas anteriores intervienen las siguientes constantes:

π

Aproximadamente 3.141592e

Aproximadamente 2.718281

xσ

Parámetro desviación estándar probabilística de x (variables normalesdiferentes pueden tener distintas desviaciones estándar probabilísticas, pero para cadavariable normal, su desviación estándar probabilística es constante).

xµ

Parámetro media aritmética de probabilística de x (variables normales diferentes pueden tener distinta medias aritméticas probabilísticas, pero para cada variable normal su media aritmética probabilística es constante).

Distribución Normal Estándar o Tipificada

Una variable de experimentación es estándar o tipificada si su media aritmética probabilística es cero (0) y su desviación estándar probabilística es uno (1). Si una variable de experimentación x es normal y tipificada, su función de densidad de probabilidad se denomina normal estándar o normal tipificada y se ajusta a la fórmula.

MEDIA ARITMETICA

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.

La mediana se representa por Me.

La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

Cálculo de la mediana

1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.

2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5

3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5

Cálculo de la mediana para datos agrupados

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.

Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre cociente.

Mediana

Li-1 es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

Cociente es la semisuma de las frecuencias absolutas.

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

ai es la amplitud de la clase.

La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.

Ejemplo

Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

fi Fi

[60, 63) 5 5

[63, 66) 18 23

[66, 69) 42 65

[69, 72) 27 92

[72, 75) 8 100

100

100 / 2 = 50

Clase modal: [66, 69)

Media aritmética

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.

Símbolo de la media aritmética es el símbolo de la media aritmética.

Fórmula de la media

Media

Ejemplo

Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

Media aritmética

Media aritmética para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:

Media

Media

Ejercicio de media aritmética

En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.

xi fi xi • fi

[10, 20) 15 1 15

[20, 30) 25 8 200

[30,40) 35 10 350

[40, 50) 45 9 405

[50, 60 55 8 440

[60,70) 65 4 260

[70, 80) 75 2 150

42 1 820

Propiedades de la media aritmética

1 La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual a cero.

Expresión

Las suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0:

8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =

= 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0

2 La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética.

Mínimo

3 Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda aumentada en dicho número.

4 Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética queda multiplicada por dicho número.

Observaciones sobre la media aritmética

1 la media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

2 La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.

3 La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos:

65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.

La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la distribución.

4 La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.

Desviación Estándar

La desviación estándar (o desviación típica) es una medida de dispersión para variables de razón (ratio o cociente) y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva. Es una medida (cuadrática) de lo que se apartan los datos de su media, y por tanto, se mide en las mismas unidades que la variable.

Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que representan los datos en su distribución, con objeto de tener una visión de los mismos más acorde con la realidad a la hora de describirlos e interpretarlos para la toma de decisiones.

Desviación estándar o Típica

Esta medida nos permite determinar el promedio aritmético de fluctuación de los datos respecto a su punto central o media. La desviación estándar nos da como resultado un valor numérico que representa el promedio de diferencia que hay entre los datos y la media. Para calcular la desviación estándar basta con hallar la raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto su ecuación sería:

1.-El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los pesos de los empaques (en gramos), de uno de sus productos; por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos. Los productos tienen los siguientes pesos (490, 500, 510, 515 y 520) gramos respectivamente.

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