El área bajo la curva

Introducción:

La integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función, y que no tiene limites y que puede resolverse mediante métodos de integración (por partes, por sustitución por descomposición de fracciones racionales.

Actividad 3.1.3

El área bajo la curva

Partir del método de exhausión es posible empleando rectángulos para aproximar cualquier área. Llamados área bajo la curva en un intervalo f (x + ∆x) = f (x) + f ‘(x)∆x a la superficie limitada por la curva, el eje x y las rectas x=a y x=b.

1. Traza una curva cualquiera (por arriba del eje x) y dos rectas verticales identificadas como a y b (véase en la figura 3.6

[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

        a        b

1. Traza tantas rectas verticales como quieras entre x=a y a=b. Entre cada dos rectas se ha limitado una pequeña superficie que esta cerrado por eje x y arriba por la función. Traza una recta horizontal aproximadamente en el mínimo del pequeño segmento de la curva, entre cada dos rectas, habrás formado una serie de rectángulos parecido a la figura 3.6.

        [pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]

        a        b

1. ¿La suma del área de los rectángulos trazados en la figura 3,6 es una aproximación el área bajo la curva?  ¿La aproximación se hace por exceso o por defecto?

Si es una aproximación, Por defecto

1. ¿Cómo puedes mejor la exactitud de la aproximación al área bajo la curva?

Que se hagan más triángulos para tener mas exactitud

1. Traza de nuevo la figura, pero ahora dibuja la recta horizontal superior horizontal superior aproximadamente en el máximo del pequeño segmento de la curva. Habrás obtenido una figura similar a la 3.7.

        [pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44]

[pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57]

[pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64]

        a        b

1. ¿La suma del área de los rectángulos trazados en la figura 3,7 es una aproximación al área bajo la curva?  ¿La aproximación se hace por exceso o por defecto?

Si es una aproximación, Por exceso

1. ¿Se podrá decir que el área bajo la curva es mayor que la limitada por lo rectángulos de la figura 3,6, pero menor que los de la figura 3.7? Si ¿Por qué?

Por que una esta por defecto y en la figura 3.7 esta por exceso

1. ¿Se puede mejorar la exactitud de la aproximación del área bajo la curva mediante la forma en la figura 3,7? Si

¿Es la misma propuesta que hiciste en el cuestionamiento 4? Si

¿Por qué?

Porque así se puede tener mas exactitud

1. Sin duda tu respuesta en el cuestionamiento 4 fue que se hagan más rectángulos ¿cierto?  Y con seguridad, diste la misma respuesta para el cuestionamiento 8. Pero hay una segunda parte muy importante que debes considerar: sí se deben hacer más rectángulos, pero, pero la longitud de sus bases también debe hacer cada vez más pequeña simultáneamente. De nada servirá hacer más rectángulos con el mismo ancho. Si n es el número de rectángulos considerados y P es la dimensión de la base del rectángulo más ancho considerado: ¿Qué efecto tiene sobre los dibujos que simultáneamente n→∞ y p→?  Pienso, que sería para tener una exactitud mas adecuada con forme a las figuras y ya se haría una ecuación de integral mas completa [pic 65]

1. Llama A al área exacta bajo la curva entre a y b  (n, P) (suma inferior) a la aproximación calculada mediante la figura 3.6 y (n, P) (suma superior) a la aproximación calculada mediante la figura 3.7. ¿Es verdadera la siguiente afirmación  (n, P) ≤ A ≤ (n, P).? ¿por qué se colocó la igualdad? [pic 66][pic 67][pic 68][pic 69]

Si, por que se coloca cuando el número es menor o igual al que se encuentra atrás  

1. ¿Qué crees que ocurra si se calcula ? Vamos a obtener el área bajo la curva para ambos casos [pic 70]

¿Qué significa esto?

Que la ecuación esta correcta para calcular el área bajo la curva, y pienso que ayuda a saber con más exactitud el área

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