Area Bajo La Curva

Áreas bajo la curva normal

• No importa cuáles sean los valores de la media y la desviación estándar para una distribución de probabilidad normal, el área total bajo la curva es 1.00, de manera que podemos pensar en áreas bajo la curva como si fueran probabilidades.

Matemáticamente es verdad que:

• 1-Aproximadamente el 68% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 1 desviación estándar de la media.

• 2. Aproximadamente el 95.5% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 2 desviaciones estándar de la media.

• 3. Aproximadamente el 99.7% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 3 desviaciones estándar de la media.

Lo anteriormente mencionado se muestra de manera gráfica

La figura muestra tres formas diferentes de medir el área bajo la curva normal. Sin embargo,

muy pocas de las aplicaciones que haremos de la distribución normal de probabilidad implican

intervalos de exactamente (más, menos) 1, 2 o 3 desviaciones estándar a partir de la media. ¿Qué haremos

con respecto a todos los demás casos? Por fortuna, podemos remitirnos a tablas estadísticas

construidas precisamente para estas situaciones. Las tablas indican porciones del área bajo la curva

normal que están contenidas dentro de cualquier número de desviaciones estándar (más, menos) a

partir de la media.

No es posible ni necesario tener una tabla distinta para cada curva normal posible. En lugar de

ello podemos utilizar una distribución de probabilidad normal estándar para encontrar áreas bajo

cualquier curva normal. Con esta tabla podemos determinar el área o la probabilidad de que la variable

aleatoria distribuida normalmente esté dentro de ciertas distancias a partir de la media. Estas

distancias están definidas en términos de desviaciones estándar.

Distribución de probabilidad normal estándar examinando

la especial relación existente entre la desviación estándar y la curva normal.

En la figura hemos ilustrado dos distribuciones de probabilidad normales, cada una con una media y una desviación estándar diferentes. Tanto el área a como el área b, las áreas sombreadas bajo

la curva, contienen la misma porción del área total bajo la curva normal. ¿Por qué? Porque ambas

están definidas como el área entre la media y una desviación estándar a la derecha de ésta. Para cualquier

distribución normal de probabilidad, todos los intervalos que contienen el mismo número de

desviaciones estándar a partir de la media contendrán la misma fracción del área total bajo la curva

para cualquier distribución de probabilidad normal. Esto posibilita usar solamente una tabla de la

distribución de probabilidad normal estándar.

Formula para medir distancias bajo la curva normal

¿Por qué utilizamos z en lugar del “número de desviaciones estándar”? Las variables aleatorias

normalmente distribuidas tienen muchas unidades diferentes de medición: dólares, pulgadas, partes

por millón, kilogramos, segundos. Como vamos a utilizar la tabla 1 del apéndice, hablamos en términos

de unidades estándar (que en realidad significa desviaciones estándar), e identificamos a éstas

con el símbolo z.

Podemos expresar lo anterior de manera gráfica. En la figura 5-15, podemos ver que el uso de z

es solamente un cambio en la escala de medición del eje horizontal.

La Tabla de distribución de probabilidad normal estándar (tabla 1 del apéndice) está organizada

en términos de unidades estándar, o valores de z. Da los valores de únicamente la mitad del

...