Continuidad De La Accion

CAP´ITULO IV.

CONTINUIDAD DE

FUNCIONES

SECCIONES

A. Definici´on de funci´on continua.

B. Propiedades de las funciones continuas.

C. Ejercicios propuestos.

121

A. DEFINICI ´ON DE FUNCI´ON CONTINUA.

Una funci´on y = f(x) se dice continua en un punto x = c cuando existe el

l´ımite de la funci´on en el punto x = c y dicho l´ımite es f(c).

Esta definici´on da lugar a tres condiciones que debe cumplir la funci´on para

ser continua en c:

a) c est´a en el dominio de la funci´on.

b) existe l´ım

x!c

f(x) (es decir, los l´ımites laterales son finitos e iguales).

c) l´ım

x!c

f(x) = f(c).

Esto quiere decir que para que una funci´on sea continua no basta que tenga

l´ımite, sino que adem´as dicho l´ımite tiene que coincidir con el valor de la

funci´on en el punto correspondiente.

Las funciones que no son continuas se llaman discontinuas. Hay varios tipos

de discontinuidad dependiendo de la condici´on que no se cumple.

A) Discontinuidad evitable: Corresponde al caso en que la funci´on tiene

l´ımite pero no coincide con el valor f(c). Se llama evitable porque

basta definir f(c) como el l´ımite de la funci´on en c para que la funci´on

sea ahora continua.

B) Discontinuidad de primera especie: Puede ser de salto finito cuando

existen los dos l´ımites laterales pero son distintos, o de salto infinito

cuando alguno de los l´ımites laterales es infinito.

C) Discontinuidad esencial o de segunda especie: Si alguno de los dos l´ımites

laterales no existe.

Las operaciones algebraicas con funciones continuas dan como resultado

nuevas funciones continuas, salvo en la divisi´on por cero y las ra´ıces de

´ındice par de funciones que toman valores negativos.

PROBLEMA 4.1.

Estudiar la continuidad de la funci´on f(x) = x + |x|

2 .

122

Soluci´on

Esta es una funci´on algebraica s´olo que el valor absoluto hace que cambie

la forma de la funci´on en el punto x = 0. Esto quiere decir que si x 6= 0, la

funci´on es continua.

Para estudiar el comportamiento de la funci´on en x = 0, debemos calcular

los l´ımites laterales.

l´ım

x!0−

x + |x|

2

= l´ım

x!0−

x − x

2

= 0,

l´ım

x!0+

x + |x|

2

= l´ım

x!0+

x + x

2

= 0,

lo que indica que la funci´on tambi´en es continua en x = 0.

Podemos comprobar este resultado dibujando la gr´afica de la funci´on. Esta

es de la forma:

Y

y = x

y = 0 X

PROBLEMA 4.2.

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones indicando los

puntos de discontinuidad:

a) f(x) = [x2].

b) f(x) = [px].

c) f(x) = [2x].

d) f(x) = p[x].

e) f(x) = px − [x].

f) f(x) = [x] + [−x].

123

Soluci´on

Sabiendo que la parte entera s´olo es discontinua en los enteros, los puntos

de discontinuidad son, respectivamente:

a) x2 = n () x = ±pn con n 2 N. (En x = 0 la funci´on es continua.)

b) px = n () x = n2 con n = 0, 1, . . .

c) 2x = n () x = n/2 con n 2 Z.

d) Como el dominio de la funci´on es [0,1), los puntos de discontinuidad

son los enteros positivos.

e) Como x − [x]  0 para todo x, los puntos de discontinuidad son x 2 Z.

f) Si n es cualquier n´umero entero, los l´ımites laterales son

l´ım

x!n−

[x] + [−x] = n − 1 + (−n) = −1; l´ım

x!n+

[x] + [−x] = n + (−n − 1) = −1.

Como f(n) = 0 6= −1, la discontinuidad es evitable en todo Z.

PROBLEMA 4.3.

Estudiar la continuidad de las funciones:

a)

...