Derivada de una potencia real

Derivada de una potencia real

Una función potencial con exponente real se representa por y su derivada es .

Por ejemplo tomemos la función:

Lo primero que se debe hacer es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo, así:

Quedando finalmente:

[editar]Derivada de una constante por una función

Cuando una función esté representada por medio de , su derivada equivale a de la siguiente manera:

Consideremos la siguiente función: , lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaña, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente:

Para obtener

Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su derivada será el valor de la constante:

Entonces su derivada con respecto a esta variable será:

Puesto que

[editar]Derivada de una suma1

Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de cada una.

Es decir, o .

Como ejemplo consideremos la función , para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada término aparte y la suma de ambos será la derivada de la función:

[editar]Derivada de un producto

Artículo principal: Regla del producto (cálculo).

La derivada se expresa literalmente de la siguiente forma:

"La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función"

Y matemáticamente expresado por la relación . Consideremos la siguiente función como ejemplo:

Identificamos a y , utilizando las reglas anteriormente expuestas, vemos que:

y que

Por lo tanto

Simplificando y organizando el producto obtenido nos queda:

Sumamos términos semejantes y finalmente

...