Aplicación de situaciones reales de derivada

Aplicación de situaciones reales de derivada

Si tuviésemos que definir a la derivada de una función en pocas palabras, diría que representa a la tasa de crecimiento. La derivada de una función nos dice, de alguna manera, cuánto cambia una función “la variable dependiente” a medida que cambia “la variable independiente”. La derivada de una función nos dice si una una función crece o decrece rápidamente o lentamente.

Muchas veces con el sentido común ya estamos derivando sin darnos cuenta. Si sabemos por ejemplo que el campeón de 100 canastas  los tira en la línea de tres o en media cancha en unos 10 segundo por cada minuto que pasa, al calcular la velocidad promedio de 10 metros por segundo (36km por hora) estamos haciendo una derivada, bajo el supuesto de que la velocidad fuera constante.

Un ejemplo: Quieres comprar un Mustang GT 2016 y solamente te dan como dato que acelera durante un arranque a 3 metros por segundo. Pero le interesa conocer el espacio que necesitas recorrer para pasar a 120 km/h y el tiempo que necesitas para ellos:

Entonces planteamos a =3 = d^2x / dt^2, lo que significa  que dx/dt= 3t “la operación es la inversa de la derivada, pero el concepto es el mismo”.

120 km/h= 120* 1000/3600= 3*t → t= 400/36= 11.11 segundos, y el espacio que hace falta recorrer será

X= 3/2 t^2 = (3/2) 11.11^2= 185 metros

Con esos daros nosotros ya podremos valorar si conviene el auto.

[pic 1]

Todo lo anterior es la base para el estudio de la derivada a través de la discusión de un problema de la vida real. Y a partir del concepto de la DERIVADA, aprenderás las técnicas para derivar funciones y aplicar estos conocimientos en la construcción de gráficas y solución de problemas.

.La posición de una partícula suspendida en el espacio tiene como ecuación f(x) = x3 – 4x – 5. Determina la pendiente (m) y la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto cuya abscisa es igual a 2

Solución:

1. De la derivada como límite, que es la razón de cambio de la función, en la pendiente que une los puntos (x , f (x) ).        

[pic 2]

La razón de cambio para la función es la expresión f’(x)= 3x2 − 4 , donde:

La razón de cambio para 3 2

x = 3x

La razón de cambio para –4x = –4

Siendo la derivada f’(x) = 3x2

 – 4 y el valor de la pendiente (m); si f ’ (x) = m, entonces:

m = 3x2

 – 4 para x = 2

m = 3 (2)2

 – 4 = 3 (4) –4 = 12 – 4 = 8 ∴ m = 8u.

La ecuación de la recta tangente a la curva f (x) = x3

 – 4x – 5 en x = 2.

Si x = 2, f (x) = (2) 3 – 4 (2) – 5 = 8 – 8 – 5 = –5.

El punto de tangencia es P1 (2, –5) y m = 8u es la pendiente de la recta tangente. Por lo

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