Desigualdades

Tiempo mínimo de recorrido.

Un vehículo debe trasladarse desde el punto A hasta el punto B de la figura.

El punto A dista 36 km de una carretera rectilínea. Sobre la carretera el vehículo puede desarrollar una velocidad de 100 km/h, mientras que sobre el terreno puede desarrollar una velocidad de 80km/h.

a) Se desea saber cuál es el recorrido que debe realizar el conductor para que el tiempo empleado en ir desde A hasta B sea mínimo

b) Calcula ese tiempo

SOLUCIÓN

a) El vehículo tiene distintas posibilidades para ir desde A hasta B. Podría , por ejemplo, ir directamente de A a B, podría efectuar el recorrido AMB o eventualmente uno como el ANB. Trataremos de determinar cuál de todos los recorridos posibles corresponde a tiempo mínimo de acuerdo a las velocidades dadas.

Llamemos: velocidad en el terreno , velocidad en la carretera, distancia distancia

Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo AMN tendremos √ .

El tiempo empleado por el vehículo en los tramos AN y BN serán respectivamente, recordando que el movimiento es rectilíneo uniforme: √

La expresión analítica del tiempo total t en función de la distancia x será entonces : ( ) √

Estudiemos la función en el intervalo [0,100]. ( )

(Corresponde al trayecto AMB)

( ) √

(corresponde el trayecto AB)

PUNTOS CRÍTICOS

Obtener la deriva de la siguiente función: ( ) √

Aplicando las propiedades de linealidad

Como en la función vamos a derivar con respecto de x solo derivaremos donde se encuentra.

( ) (√ ) ( ) ( ) [ ( ( ) ⁄ ( ) ) √ ( ) ] [( ) ( ) ( ) ]

Derivar ( ) [ ( ( ) ⁄ ) √ ] [( ) ( )] ( ) [ ( ( ) ⁄ ) ] [ ( )] ( ) [ ( ( ) ⁄ )] [ ( )]

Simplificar ( ) √ ( ) √

Despejar a x

Despejar x:

Elevando ambos miembros al cuadrado tenemos

√

√

√

√ √

( ) ( √ )

Factor común

( )

Despejar a x:

√

...