Experimentos Movimiento Lineal

MOMENTO LINEAL

Objetivos

1. Verificar el principio de conservación del momento lineal en colisiones

inelásticas, y

2. Comprobar que la energía cinética no se conserva en colisiones inelásticas

Teoría

En este experimento introduciremos el concepto de momento lineal, también

conocido como cantidad de movimiento, o momentum, y aprenderemos a distinguir

entre colisiones elásticas e inelásticas. Estudiaremos lo que sucede con el momento

lineal y la energía cinética total de un sistema formado por dos carritos que se

mueven sobre una pista horizontal sin fricción y sufren una colisión elástica o

inelástica. Recordemos que cuando un cuerpo de masa m viaja con una velocidad

instantánea v, su momento lineal es p = mv. Notemos que p es un vector. También

recordemos que este mismo cuerpo posee una energía cinética K = ½ mv2, la cual es

un escalar

Colisiones inelásticas

La figura 1 muestra dos carritos de masas m1 y m2 respectivamente, que viajan

con velocidades iniciales, constantes, v1i y v2i hacia una colisión. Asumimos que v1i >

v2i y que la pista sobre la que viajan es horizontal y sin fricción. Como en este sistema

la resultante de fuerzas externas es cero, el momento lineal total antes de la colisión

es igual al momento lineal total después de la colisión, según el principio de

conservación del momentum. Esto se expresa con la ecuación 1

m1v1 i + m2v2 i = m1v1 f +m2v2 f 1

Figura 1 Dos carritos sufren una colisión parcialmente inelástica

Donde v1f y v2f son las velocidades finales después de la colisión. Como

estamos asumiendo que esta es una colisión inelástica, la energía cinética no se

conserva. Si conocemos las masas y las velocidades iniciales, podemos medir una de

las velocidades finales y deducir la otra despejándola de la ecuación 1. En este caso

particular, donde el movimiento ocurre en una dimensión, podemos trabajar con las

magnitudes de las velocidades, sin necesidad de tomar en cuenta su carácter vectorial.

La figura 2 muestra un tipo de colisión, llamada totalmente inelástica, en la que los

carritos quedan unidos después de ella. Esto significa que, una vez se da la colisión,

los carritos se mueven juntos con una velocidad final común. En el laboratorio

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haremos el experimento con el carrito de masa m2 en reposo mientras disparamos el

de masa m1 con una velocidad inicial conocida v1i. Luego de la colisión los carritos

viajan juntos con una velocidad vf. Aplicando el principio de conservación del

momento lineal a esta situación, obtenemos la ecuación 2

m1v1 i = (m1 + m2)vf 2

Si medimos v1i podemos obtener el valor de vf despejándolo de esta ecuación

Colisiones elásticas

La figura 3 muestra una situación general en la que asumimos un choque

elástico. Antes de la colisión los carritos viajan en direcciones opuestas con

velocidades iniciales v1i y v2 i respectivamente, y se acercan mutuamente

Figura 2 Dos carritos sufren una colisión totalmente inelástica

Después de la colisión, en la que la energía cinética total así como el momento

lineal total del sistema se conservan, los dos carritos terminan con velocidades

opuestas alejándose entre sí

Figura 3 Colisión elástica con ambos carritos

En este tipo de colisión se cumplen las ecuaciones 3 y 4. La ecuación 3 es el

resultado del establecimiento de la conservación del momento lineal total, mientras

que la 4, es el principio de conservación de la energía

m1v1 i + m2v2 i = m1v1 f +m2v2 f 3

½ m1v1 i

2 + ½ m2v2 i

2 = ½ m1v1 f

2 + ½ m2v2 f

2 4

Aquí v1f y v2 f son las velocidades finales de los carritos. Ambas ecuaciones

pueden resolverse simultáneamente para despejar las velocidades finales, en función

de las velocidades iniciales y las masas de los carritos, que se asumen conocidas, con

lo que obtenemos las ecuaciones 5 y 6

1 2 2

1 2 1 2 1 1 2

2

f i i

m m m

v v v

m m m m

−

= +

+ −

5

1 2 1

2 1 2

1 2 1 2

2

f i i

m m m

v v v

m m m m

−

= +

+ +

6

105

Ejemplo 1

Supongamos que tenemos un arreglo como el de la figura 4, que consiste en dos

esferas sólidas de masas m1 = 30 g y m2 = 75 g, suspendidas por su parte superior por

hilos sin masa. Originalmente las esferas están en contacto mutuo, con sus hilos

verticales y paralelos. Acto seguido tomamos la masa m1 y la desplazamos

lateralmente hacia la izquierda hasta alcanzar una altura h1 = 8.0 cm. Soltamos m1

desde esa altura, con velocidad inicial cero. La masa m1 regresa a su posición inicial

de equilibrio y choca elásticamente con m2 al final de su recorrido hacia la derecha.

Deseamos calcular la velocidad de la masa m1 justamente antes de su choque elástico

con m2

Solución: Durante esta parte del movimiento se conserva la energía mecánica

porque asumimos que las posibles fuerzas de fricción son despreciables. Por lo

tanto, la energía potencial inicial de m1 es igual a su energía cinética final, es decir,

Figura 4 Sistema de masas de los ejemplos 1, 2, 3, 4 y ejercicio 1

m1gh1 = ½ m1v1i

2

De donde

v1i = 2gh1 = 2×9.81×0.08 =1.25 m/s

Ejemplo 2

Vamos a referirnos al caso del ejemplo 1. Ahora calculemos la velocidad con la que

viaja la masa m1 luego de chocar con la m2

Solución: Debemos reconocer que esta pregunta se refiere a la velocidad v1f de la

ecuación 5 en la que v2i = 0, por lo tanto,

1 2

1 2 1 1

30 75 1.25 0.54 m/s

f i 30 75

m m

v v

m m

− −

= = × = −

+ +

Debemos notar que esta velocidad tiene signo negativo, lo que significa que m1

viaja hacia atrás, es decir, rebota con m2. Este resultado era de esperarse en vista de

que m2 > m1

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Ejemplo 3

Seguimos refiriéndonos al caso del ejemplo 1. Ahora deseamos calcular el valor de la

velocidad con la que se mueve m2 luego de recibir el impacto de m1

Solución: Nuevamente vemos que este problema tiene solución con una ecuación

ya desarrollada, se trata de la 6, en la que v2i = 0, entonces

1

2 1

1 2

2 2 0.030 1.25 0.71 m/s

f i 0.030 0.075

m

v v

m m

×

= = × =

+ ×

Ejemplo 4

Por último vamos a calcular la altura máxima que alcanzará la masa m2 en su

movimiento hacia la derecha como consecuencia del impacto recibido por parte de la

masa m1

Solución: En este caso recurrimos al principio de conservación de la energía

mecánica, igual que en el ejemplo 1. La energía cinética inicial de la masa m2 se va

a convertir en energía potencial final

½ m2v2 f = m2gh2

De dónde

2 2 2

2

(0.71) 0.026 m 2.6 cm

2 2 9.8

v f

h

g

= = = =

×

Ejercicio 1

Dejaremos ahora que el estudiante encuentre la altura máxima a la que va a llegar la

masa m1 en su movimiento hacia la izquierda una vez rebote al chocar contra la masa

m2

Resp. 1.5 cm

Ejemplo5

Un péndulo balístico es un aparato que sirve para medir la velocidad de una bala al

salir de un rifle. Consiste en un bloque de madera, suspendido en posición horizontal

mediante dos hilos atados cerca de sus extremos. Ver la figura 5. La bala se dispara

contra el bloque y queda incrustada en él. Como consecuencia el bloque trata de

moverse en la misma dirección que la bala pero, al estar atado, sólo logra subir un

poco. Sabiendo la masa de la bala, la del bloque y la altura final del bloque es posible

deducir el valor de la velocidad de la bala, usando los principios de conservación del

momentum lineal y la energía mecánica. Supongamos que la masa de la bala es de 9.5

g, la del bloque, de 5.4 kg, y la altura final del bloque, 6.3 cm, ¿cuál es la velocidad

inicial de la bala?

Solución: En el proceso de colisión se conserva el momento lineal del sistema, es

decir, el momento inicial de la bala es igual al momento lineal final del bloque con

la bala incrustada en él. En ecuaciones,

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( )

( )

mv m M V

v m M V

m

= +

+

=

Figura 5 El péndulo balístico

En el resto del proceso se conserva la energía mecánica total del sistema, es decir,

la energía cinética inicial del péndulo, con la bala incrustada en él, es igual a su

energía potencial final. En ecuaciones,

...