Práctica De Geodesia UNMSM Geográfica

PRÁCTICA DE CALIFICADA DE GEODESIA.

1.- Demostrar que en un triángulo esférico (A = 90°), se cumple:

sen(B + C)=(Cos(b)+ Cos(c))/(1 + Cos(b)*Cos(c) )

Se sabe:

sen(B + C)=senB cosC+cosB senC

Por trigonometría esférica

cosB=-cos⁡A cos⁡C+sen A sen C cos⁡b

Siendo A =90° (cos⁡A=0 y sen⁡A=1), tenemos:

cosB= sen C cos⁡b

Del mismo modo:

cosC= sen B cos⁡c

Remplazando tenemos:

sen(B + C)=〖(sen B)〗^2 cos⁡c+〖(sen C)〗^2 cos⁡b

Por ley de senos:

((se n A=1))/(sen a)=(sen B)/(sen b)= (sen C)/(sen c)

(sen b)/(sen a)= sen B

(sen c)/(sen a)= sen C

Remplazando en la expresión anterior:

sen(B + C)=((sen b)/(sen a))^2 cos⁡c+((sen c)/(sen a))^2 cos⁡b

sen(B + C)=(1/(sen a))^2 〖((sen b)^2 cos〗⁡c+〖(sen c)^2 cos〗⁡b)

sen(B + C)=(1/(sen a))^2 〖((〖1-(cos⁡b )〗^2 )cos〗⁡c+〖(〖1-(cos⁡c )〗^2 ) cos〗⁡b)

sen(B + C)=(1/(sen a))^2 ( 〖cos⁡c-(cos⁡b )〗^2 cos⁡c+〖cos⁡b-(cos⁡c )〗^2 cos⁡b)

sen(B + C)=(1/(sen a))^2 ( 〖cos⁡c+ cos⁡b-(cos⁡b )〗^2 cos⁡c 〖-(cos⁡c )〗^2 cos⁡b)

sen(B + C)=(1/(sen a))^2 ( cos⁡c+ cos⁡b-cos⁡b cos⁡c ( cos⁡c+ cos⁡b))

sen(B + C)=(1/(sen a))^2 ( cos⁡c+ cos⁡b )(1- cos⁡b cos⁡c )

sen(B + C)=(1/(sen a))^2 (cos⁡c+ cos⁡b )(1-cos⁡b cos⁡c ) ((1+cos⁡b cos⁡c ))/((1+cos⁡b cos⁡c ))

sen(B + C)=(1/(sen a))^2 (cos⁡c+ cos⁡b ) ((1-(cos⁡b cos⁡c )^2))/((1+cos⁡b cos⁡c ))

Por el pentágono de neper:

cos⁡a= cos⁡b cos⁡c

sen(B + C)=(1/(sen a))^2 (cos⁡c+ cos⁡b ) ((1-(cos⁡a )^2))/((1+cos⁡b cos⁡c ))

sen(B + C)=(1/(sen a))^2 (cos⁡c+ cos⁡b ) (sen⁡a )^2/((1+cos⁡b cos⁡c ))

Por lo tanto tenemos:

∴ sen(B + C)=((cos⁡c+ cos⁡b ))/((1+cos⁡b cos⁡c )) lqqd

2.- Demostrar que en un triángulo esférico recto en ‘A’, se cumple:

Tg2(b/2) = Tg((a+c)/2)*Tg((a-c)/2) - ’ .1 .

3.- Demostrar que en un triángulo esférico isósceles (b=c), se cumple:

Cos( A/2) = Sen(B)*Cos(a/2)

Se sabe:

cosA=-cos⁡B cos⁡C+sen B sen C cos⁡a

cosA=(sen⁡B )^2 cos⁡a-(cos⁡B )^2

2(cos⁡(A/2) )^2-1=〖(2(cos⁡(a/2) )^2-1)(sen⁡B )〗^2 cos⁡a-(cos⁡B )^2

2(cos⁡(A/2) )^2-1=(2(cos⁡(a/2) )^2 (sen⁡B )^2-((sen⁡B )^2+(cos⁡B )^2 )

2(cos⁡(A/2) )^2-1=(2(cos⁡(a/2) )^2 (sen⁡B )^2-(1)

2(cos⁡(A/2) )^2=(2(cos⁡(a/2) )^2 (sen⁡B )^2

(cos⁡(A/2) )^2=(cos⁡(a/2) )^2 (sen⁡B )^2

∴ cos⁡(A/2)=cos⁡(a/2) sen⁡B lqqd

4.- Demostrar que en un triángulo esférico se cumple:

Sen(A)*Cos(b)= Sen(C)Cos(B) + Sen(B)Cos(C)Cos(a)

Se sabe:

cosB=-cos⁡A cos⁡C+sen A sen C cos⁡b

cosA=-cos⁡B cos⁡C+sen B sen C cos⁡a

Reemplazando:

sen A sen C cos⁡b= cosB+ cos⁡A cos⁡C

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