El mundo es un pañuelo

UNIVERSIDAD DE ESPAÑA Y MEXICO

Dirección de Tecnologías de la Información

Erick Jiménez Martínez

El mundo es un pañuelo

TERCER MODULO

FECHA: 19/01/1019

Resumen del Mundo es un pañuelo

Existe el dicho, de todos conocido, de que el mundo es un pañuelo. Si el epigrama les resulta exagerado pueden adquirir la novela de David Lodge El mundo es un pañuelo y asistir al fascinante espectáculo de la contractura del planeta.

Los esquemas, como veremos, se multiplican, siendo otro caso sonado de encogimiento planetario la propagación de virus informáticos a través de la red, capaz de abarcar la superficie entera del planeta en cuestión de minutos.

Después de cursar la correspondiente denuncia la pareja pone rumbo a Harvard con objeto de recabar el testimonio de sus hijos estudiantes y establecer el origen del engaño dado que, como dice la madre en el curso del filme, todos estamos vinculados a todos mediante una cadena de, a lo sumo, seis personalidades. Son los seis grados de separación que dan título a la película y que abarcan la totalidad del género humano: con media docena de eslabones es posible establecer comunicación con el Papa de Roma, el presidente de la República Armenia o un aborigen plantado en la inmensidad de Australia. Ahora bien, ¿por qué seis grados de separación y no cinco o una docena? Es una cuestión de medida. El año 1967 Stanley Milgram, a la sazón sociólogo en Harvard, llevó a la práctica un sencillo experimentó. Milgram solicitó a una serie de residentes en los estados de Kansas y Nebraska, al oeste de las grandes llanuras de los Estados Unidos de América, que intentaran establecer contacto, a través del correo postal, con un grupo de ciudadanos afincados en Boston, en el extremo noreste del país. Cada persona debía remitir una carta a un conocido que guardara, en su opinión, posibilidades de conocer al destinatario bostoruano o en su defecto a alguien que tuviera noticia suya, y así sucesivamente. La experiencia arrojó un promedio de cinco intermediarios antes de alcanzar el destino final de Boston, lo que quiere decir una distancia igual a seis. Posteriormente, Milgram reanudó el experimento con una ligera modificación. En este caso el destinatario y el emisor fueron escogidos entre miembros de distintas comunidades raciales, con la intuición de que el trayecto había de alargarse. Así no obstante, la distancia media fue otra vez igual a seis, dando pie a la hipótesis de los seis grados de separación o, si se prefiere, seis encajadas de manos entre dos individuos cualesquiera del planeta.

De otro lado, la comunidad matemática goza también de un singular epicentro: el matemático húngaro Paul Erdos, muerto en 1996 mientras asistía a un congreso. La producción de este genio es tan enorme, computada en número de publicaciones, que hace tiempo que se habla en la literatura de la llamada distancia Erdos: un matemático tiene distancia Erdos 1 si ha firmado un artículo en colaboración con él, distancia 2 si ha publicado con un matemático a distancia Erdos 1 y así consecutivamente. Existe la creencia de que ningún matemático del mundo, siempre y cuando haya publicado un artículo conjuntamente a otro firmante, está desvinculado de Erdos. Se ha conjeturado, incluso, que todo científico y estudioso, sin que haya de ser matemático, tiene distancia Erdos finita. Por ejemplo, la distancia de Erdos a Einstein es 2 gracias al matemático alemán Emst G. Straus; 4 a Noam Chomsky, famoso lingüista y profesor en el MIT; 3 aJean Piaget, psicólogo y pedagogo; y 5 al filósofo Karl Popper. Dan Kleitman ostenta la proeza de tener un número combinado Erdos-Bacon igual a 3, por cuanto no sólo firmó siete artículos en colaboración con Erdos, sino que aparece en el film Good Will Hunting al lado de Minnie Driver, quien por otra parte comparte cartel con Bacon en Sleepers.

EL MODELO NUMÉRICO: REDES PEQUEÑO-MUNDO

 Lo que estas redes, llamadas pequeño-mundo, tienen en común, y lo mismo otras -por ejemplo: el esquema neuronal del gusano Caenorhabditis elegans, el mapa de propagación de epidemias de un área geográfica o la red de suministro de una compañía eléctrica-, puede ser descrito en términos de la teoría de grafos. Un grafo es una estructura de elementos relacionados de forma binaria, es decir, un conjunto de nodos o puntos dispuestos en el plano, conectados por líneas llamadas aristas. Cualquiera de las redes descritas anteriormente puede ser representada por un grafo sim~. Así, en el llamado grafo de colaboración. Erdos los nodos designan matemáticos y las aristas colaboraciones. Dos nodos son adyacentes, es decir, permanecen unidos por una arista, si y sólo si representan matemáticos que han firmado un artículo en colaboración. Igualmente, puede esbozarse un grafo descriptivo de la sociedad de actores, designando las aristas intervenciones en un mismo filme.

Watts y Strogatz partieron en su ensayo de redes regulares, como las que se ilustran en la figura, a las cuales fueron aplicando, de forma sucesiva, alteraciones hasta convertirlas en redes aleatorias. Una red regular es una red tal que todos sus nodos tienen el mismo número de aristas. En el caso que nos ocupa, Watts y Strogatz propusieron además una familia con un grado alto de simetría. Distribuyeron los nodos sobre un círculo y los unieron con los nodos más próximos tanto por la derecha como por la izquierda: en la figura, dos en cada sentido, aunque esta cantidad puede variar. Estos grafos, como se de nuestra fácilmente, tienen un alto grado de agregación y un diámetro elevado. En el citado artículo, Watts y Strogatz partieron de grafos pertenecientes a esta familia para, a continuación, modificarlos de forma aleatoria. Así, para una variable p determinada, Watts y Strogatz escogían cada arista del grafo regular original con probabilidad p y la trasladaban hacia otra zona del grafo, designada al azar, obteniéndose para cada probabilidad familias con propiedades diferentes: cuanto mayor es p más alto el porcentaje de aristas modificadas y más pequeños el diámetro y grado de agregación formales. Tal y como habían conjeturado Watts y Strogatz, las redes pequeño mundo -es decir, redes con un diámetro pequeño y un apiñamiento alto ocuparon un lugar en medio del espectro entre las redes regulares, que presentan mucho apiñamiento y un diámetro alto, y las redes aleatorias, que contrariamente tienen un grado de agregación y un diámetro reducidos. Es de este modo que pueden definirse, a partir de redes regulares y sin llegar a formar modelos completamente aleatorios, grafos con un diámetro pequeño y un grado de agregación elevado, es decir, redes pequeño-mundo. En estos casos, por lo demás, es imposible determinar localmente -desde uno de los puntos de la red, sin acceder al resto-la transición de red regular a red pequeño-mundo, dada su relación con la estructura global del grafo.

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