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julieth_carito17 de Septiembre de 2012
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MATEMÁTICA FINANCIERA
JANETH CHUNGA HERNANDEZ
FUNDACIÓN UNIVERSITARIA CATÓLICA LUMEN GENTIUM
FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES
PROGRAMA DE ADMINISTRACIÓN EMPRESARIAL
Santiago de Cali, 2010
TABLA DE CONTENIDO
Pág.
INTRODUCCIÓN V
1. GENERALIDADES SOBRE DE MATEMÁTICA FINANCIERA 8
1.1 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO. 8
1.2 TEMAS QUE SE VAN A TRATAR EN EL DESARROLLO DEL MÓDULO 9
1.2.1 Diagramas de tiempo 9
1.2.2 Interés 9
1.2.3 Tasas 9
1.2.4 Anualidades 9
1.2.5 Gradientes 10
1.2.6 Amortizaciones 10
1.2.7 Evaluación de proyectos 10
2. DIAGRAMAS DE TIEMPO 11
3. CONCEPTO DE INTERÉS 14
3.1 INTERÉS SIMPLE. 14
3.2 EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTERÉS SIMPLE 18
4. DESCUENTO 22
4.1 DESARROLLO DE LAS FÓRMULAS 24
4.2 DESCUENTO EFECTIVO 25
4.2.1 Interés efectivo 25
4.2.2 Tasa de descuento efectivo (de) 25
4.3 EJERCICIOS PROPUESTOS DE DESCUENTO 28
5. INTERÉS COMPUESTO 31
5.1 CONCEPTOS BÁSICOS 31
5.2 PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN 31
5.3 FRECUENCIA CONVERSIÓN 31
5.4 TASA DE INTERÉS 32
5.5 DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DE INTERÉS COMPUESTO 32
5.6 OTRA FORMA DE DEDUCIR LA FÓRMULA DE INTERÉS COMPUESTO 35
5.7 DESARROLLO DE LAS FÓRMULAS 36
5.8 EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTERÉS COMPUESTO 39
6. EL CONCEPTO DE EQUIVALENCIA. 42
6.1 ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES 42
6.2 EJERCICIOS PROPUESTOS DE ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES 44
7. TASAS. 47
7.1 TASAS NOMINALES. 47
7.2 TASAS EFECTIVAS 47
7.3 EJERCICIOS PROPUESTOS DE TASAS NOMINALES Y EFECTIVAS 54
7.4 TASAS ANTICIPADAS 56
7.5 EJERCICIOS PROPUESTOS DE TASAS ANTICIPADAS 61
7.6 TASAS DEFLACTADAS 63
7.7 EJERCICIOS PROPUESTOS DE TASAS DEFLACTADAS 65
8. ANUALIDADES 67
8.1 TIPOS DE ANUALIDADES 67
8.1.1 Tiempo 68
8.1.2 Interés 68
8.1.3 Pagos 68
8.1.4 Iniciación 68
8.2 ANUALIDADES CIERTAS, VENCIDAS E INMEDIATAS 69
8.3 VALOR FUTURO 69
8.4 VALOR PRESENTE 69
8.5 EJERCICIOS PROPUESTOS DE ANUALIDADES VENCIDAS 73
8.6 ANUALIDADES ANTICIPADAS 74
8.7 EJERCICIOS PROPUESTOS DE ANUALIDADES ANTICIPADAS 76
8.8 ANUALIDADES DIFERIDAS 77
8.9 EJERCICIOS PROPUESTOS DE ANUALIDADES DIFERIDAS 81
8.10 ANUALIDADES GENERALES 82
8.11 EJERCICIOS PROPUESTOS ANUALIDADES GENERALES 84
9. GRADIENTES 86
9.1 GRADIENTE EXPONENCIAL O GRADIENTE GEOMÉTRICO 92
9.2 VALOR PRESENTE 93
9.3 VALOR FUTURO 94
9.4 PROBLEMAS PROPUESTOS DE GRADIENTES 97
10. AMORTIZACIÓN 100
10.1 TABLAS DE AMORTIZACIÓN 100
10.2 TABLAS DE FONDO DE AMORTIZACIÓN 107
11. EVALUACIÓN DE ALTERNANTIVAS DE INVERSIÓN 109
11.1 VALOR PRESENTE NETO 109
11.2 TASA INTERNA DE RETORNO 112
11.3 PROBLEMAS PROPUESTOS DE VPN Y TIR 117
BIBLIOGRAFÍA 120
INTRODUCCIÓN
La presente guía recoge la experiencia que la autora ha tenido durante varios años en el curso de matemática financiera, que corresponde al área de fundamentación del programa de Administración Empresarial, facultad de Ciencias Empresariales de la Fundación Universitaria Católica Lumen Gentium y también como coautora del Módulo de Matemática Financiera realizado en el departamento de Ciencias Básicas de la misma institución.
La guía será de mucha utilidad para los estudiantes que cursan la materia Matemáticas Financieras en diferentes programas de la FUCLG y por supuesto en otras instituciones.
Inicialmente se realiza un recorrido general por los diferente temas que se tratarán la guía para que el estudiante tenga una visión integral del curso y de esta manera genere interés sobre la importancia y necesidad de la apropiación de cada uno de los fundamentos que hacen parte del documento.
En el capítulo dos se aborda el tema de diagramas tiempo y valor, haciendo especial énfasis en lo importante que es esta herramienta en la solución de las diferentes situaciones que se presentan en el ejercicio de la evaluación de alternativas de inversión.
En el numeral 3 se estudia el concepto de Interés, en donde se trata el concepto de Interés simple, especificando claramente la diferencia entre el interés simple y el interés compuesto, que luego se aplica, en el numeral 4, al concepto de Descuento en donde se desarrolla las fórmulas respectivas y se explican las ecuaciones de valor equivalente. En el numeral 4 se explican las diferentes tasas utilizadas en el sector financiero y sus respectivas equivalencias.
En el numeral 5 se abordan los conceptos de Interés compuesto, los conceptos relacionados como período de capitalización, la frecuencia de conversión, la tasa de interés, se analiza la forma de deducir la fórmula de interés compuesto de dos maneras, se realiza el desarrollo de las fórmulas y se proponen ejercicios para ser resueltos aplicando los respectivos conceptos.
En el numeral sexto se revisa el concepto de equivalencia, las ecuaciones de valor equivalentes y se proponen ejercicios para su práctica.
En el numeral séptimo se explica el concepto de equivalencia, en donde se revisan los conceptos de valores equivalentes y se ilustra con ejemplos resueltos y para la solución por cuenta de los estudiantes.
El numeral octavo, muestra las anualidades o pagos iguales en varios periodos, aquí se explica mediante ejemplos la aplicación de las fórmulas para calcular el valor futuro, el valor presente, la cuota fija, la tasa de interés, entre otras características relacionadas con el tema.
El numeral noveno explica el tema de gradientes, ilustrando los diferentes elementos que se utilizan en la aplicación de la respectiva fórmula. Aquí también, se explican las diferentes clases de gradientes existentes, se muestran las fórmulas y ejemplos para el cálculo del valor presente y valor futuro correspondiente.
El numeral decimo explica el tema de amortizaciones, es un tema de mucha aplicación práctica puesto que hasta en la vida personal, cuando se adquieren créditos, se deben realizar este tipo de cálculos, con mayor razón en las actividades comerciales. En el capítulo décimo se explica la contraparte de la amortización, es decir, el fondo de amortización, muy similares, la diferencia es que el primero es en valor presente y el segundo a futuro.
El numeral undécimo explica la forma de evaluar alternativas de inversión, mostrando las fórmulas y ejemplos para el cálculo del valor presente neto y la tasa interna de retorno.
Se espera que la presente guía, sea ampliamente aprovechada por los estudiantes de los programas de la FUCLG, para que mejoren su nivel de comprensión general de los temas aquí incluidos y por tanto incrementen su rendimiento académico durante el curso, para que en el futuro sean mejores profesionales, pero ante todo personas de bien como lo requiere nuestra sociedad.
1. GENERALIDADES SOBRE DE MATEMÁTICA FINANCIERA
El propósito primordial de las matemáticas financieras es presentar las herramientas matemáticas necesarias para evaluar las equivalencias del dinero en diferentes tiempos.
La matemática financiera es una herramienta que nos prepara para tener un manejo adecuado de los recursos y nos aporta elementos de juicio en la toma de decisiones que involucren alternativas de inversión o financiamiento.
La matemática financiera es importante porque es la herramienta que nos permite realizar cálculos en los que intervienen los flujos de efectivo, las tasas de interés, impuesto e inflación, teniendo en cuenta que:
• El dinero es un recurso financiero y como tal escaso y quien lo usa debe pagar por ello.
• Los administradores deben garantizar la existencia de recursos tratando que estos sean los menos costosos.
• Cuando hayan excedentes deben invertirlos en los negocios que representen los rendimientos más altos.
1.1 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO.
El concepto fundamental de las matemáticas financieras es el valor del dinero a través del tiempo. Esto se refiere a que cuando vamos a cancelar una obligación o a recibir un ingreso; no basta con especificar que lo vamos a hacer sino que hay que precisar en qué fecha va a ocurrir; pues no tiene el mismo efecto económico cancelar o recibir hoy una cantidad que hacerlo dentro de 6 meses o un año.
Siempre se debe indicar el cuánto y el cuándo. Si cumplimos con este primer concepto vamos entrando en el correcto manejo de las bases de la matemática financiera y estaremos cumpliendo con el principio de reconocer el valor del dinero a través del tiempo.
1.2 TEMAS QUE SE VAN A TRATAR EN EL DESARROLLO DEL MÓDULO
1.2.1 Diagramas de tiempo
Es la representación gráfica de los flujos de efectivo. En esta representación se muestran los elementos que la integran: Ingresos, egresos, tiempo y tasa de interés.
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MATEMÁTICA FINANCIERA
JANETH CHUNGA HERNANDEZ
FUNDACIÓN UNIVERSITARIA CATÓLICA LUMEN GENTIUM
FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES
PROGRAMA DE ADMINISTRACIÓN EMPRESARIAL
Santiago de Cali, 2010
TABLA DE CONTENIDO
Pág.
INTRODUCCIÓN V
1. GENERALIDADES SOBRE DE MATEMÁTICA FINANCIERA 8
1.1 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO. 8
1.2 TEMAS QUE SE VAN A TRATAR EN EL DESARROLLO DEL MÓDULO 9
1.2.1 Diagramas de tiempo 9
1.2.2 Interés 9
1.2.3 Tasas 9
1.2.4 Anualidades 9
1.2.5 Gradientes 10
1.2.6 Amortizaciones 10
1.2.7 Evaluación de proyectos 10
2. DIAGRAMAS DE TIEMPO 11
3. CONCEPTO DE INTERÉS 14
3.1 INTERÉS SIMPLE. 14
3.2 EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTERÉS SIMPLE 18
4. DESCUENTO 22
4.1 DESARROLLO DE LAS FÓRMULAS 24
4.2 DESCUENTO EFECTIVO 25
4.2.1 Interés efectivo 25
4.2.2 Tasa de descuento efectivo (de) 25
4.3 EJERCICIOS PROPUESTOS DE DESCUENTO 28
5. INTERÉS COMPUESTO 31
5.1 CONCEPTOS BÁSICOS 31
5.2 PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN 31
5.3 FRECUENCIA CONVERSIÓN 31
5.4 TASA DE INTERÉS 32
5.5 DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DE INTERÉS COMPUESTO 32
5.6 OTRA FORMA DE DEDUCIR LA FÓRMULA DE INTERÉS COMPUESTO 35
5.7 DESARROLLO DE LAS FÓRMULAS 36
5.8 EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTERÉS COMPUESTO 39
6. EL CONCEPTO DE EQUIVALENCIA. 42
6.1 ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES 42
6.2 EJERCICIOS PROPUESTOS DE ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES 44
7. TASAS. 47
7.1 TASAS NOMINALES. 47
7.2 TASAS EFECTIVAS 47
7.3 EJERCICIOS PROPUESTOS DE TASAS NOMINALES Y EFECTIVAS 54
7.4 TASAS ANTICIPADAS 56
7.5 EJERCICIOS PROPUESTOS DE TASAS ANTICIPADAS 61
7.6 TASAS DEFLACTADAS 63
7.7 EJERCICIOS PROPUESTOS DE TASAS DEFLACTADAS 65
8. ANUALIDADES 67
8.1 TIPOS DE ANUALIDADES 67
8.1.1 Tiempo 68
8.1.2 Interés 68
8.1.3 Pagos 68
8.1.4 Iniciación 68
8.2 ANUALIDADES CIERTAS, VENCIDAS E INMEDIATAS 69
8.3 VALOR FUTURO 69
8.4 VALOR PRESENTE 69
8.5 EJERCICIOS PROPUESTOS DE ANUALIDADES VENCIDAS 73
8.6 ANUALIDADES ANTICIPADAS 74
8.7 EJERCICIOS PROPUESTOS DE ANUALIDADES ANTICIPADAS 76
8.8 ANUALIDADES DIFERIDAS 77
8.9 EJERCICIOS PROPUESTOS DE ANUALIDADES DIFERIDAS 81
8.10 ANUALIDADES GENERALES 82
8.11 EJERCICIOS PROPUESTOS ANUALIDADES GENERALES 84
9. GRADIENTES 86
9.1 GRADIENTE EXPONENCIAL O GRADIENTE GEOMÉTRICO 92
9.2 VALOR PRESENTE 93
9.3 VALOR FUTURO 94
9.4 PROBLEMAS PROPUESTOS DE GRADIENTES 97
10. AMORTIZACIÓN 100
10.1 TABLAS DE AMORTIZACIÓN 100
10.2 TABLAS DE FONDO DE AMORTIZACIÓN 107
11. EVALUACIÓN DE ALTERNANTIVAS DE INVERSIÓN 109
11.1 VALOR PRESENTE NETO 109
11.2 TASA INTERNA DE RETORNO 112
11.3 PROBLEMAS PROPUESTOS DE VPN Y TIR 117
BIBLIOGRAFÍA 120
INTRODUCCIÓN
La presente guía recoge la experiencia que la autora ha tenido durante varios años en el curso de matemática financiera, que corresponde al área de fundamentación del programa de Administración Empresarial, facultad de Ciencias Empresariales de la Fundación Universitaria Católica Lumen Gentium y también como coautora del Módulo de Matemática Financiera realizado en el departamento de Ciencias Básicas de la misma institución.
La guía será de mucha utilidad para los estudiantes que cursan la materia Matemáticas Financieras en diferentes programas de la FUCLG y por supuesto en otras instituciones.
Inicialmente se realiza un recorrido general por los diferente temas que se tratarán la guía para que el estudiante tenga una visión integral del curso y de esta manera genere interés sobre la importancia y necesidad de la apropiación de cada uno de los fundamentos que hacen parte del documento.
En el capítulo dos se aborda el tema de diagramas tiempo y valor, haciendo especial énfasis en lo importante que es esta herramienta en la solución de las diferentes situaciones que se presentan en el ejercicio de la evaluación de alternativas de inversión.
En el numeral 3 se estudia el concepto de Interés, en donde se trata el concepto de Interés simple, especificando claramente la diferencia entre el interés simple y el interés compuesto, que luego se aplica, en el numeral 4, al concepto de Descuento en donde se desarrolla las fórmulas respectivas y se explican las ecuaciones de valor equivalente. En el numeral 4 se explican las diferentes tasas utilizadas en el sector financiero y sus respectivas equivalencias.
En el numeral 5 se abordan los conceptos de Interés compuesto, los conceptos relacionados como período de capitalización, la frecuencia de conversión, la tasa de interés, se analiza la forma de deducir la fórmula de interés compuesto de dos maneras, se realiza el desarrollo de las fórmulas y se proponen ejercicios para ser resueltos aplicando los respectivos conceptos.
En el numeral sexto se revisa el concepto de equivalencia, las ecuaciones de valor equivalentes y se proponen ejercicios para su práctica.
En el numeral séptimo se explica el concepto de equivalencia, en donde se revisan los conceptos de valores equivalentes y se ilustra con ejemplos resueltos y para la solución por cuenta de los estudiantes.
El numeral octavo, muestra las anualidades o pagos iguales en varios periodos, aquí se explica mediante ejemplos la aplicación de las fórmulas para calcular el valor futuro, el valor presente, la cuota fija, la tasa de interés, entre otras características relacionadas con el tema.
El numeral noveno explica el tema de gradientes, ilustrando los diferentes elementos que se utilizan en la aplicación de la respectiva fórmula. Aquí también, se explican las diferentes clases de gradientes existentes, se muestran las fórmulas y ejemplos para el cálculo del valor presente y valor futuro correspondiente.
El numeral decimo explica el tema de amortizaciones, es un tema de mucha aplicación práctica puesto que hasta en la vida personal, cuando se adquieren créditos, se deben realizar este tipo de cálculos, con mayor razón en las actividades comerciales. En el capítulo décimo se explica la contraparte de la amortización, es decir, el fondo de amortización, muy similares, la diferencia es que el primero es en valor presente y el segundo a futuro.
El numeral undécimo explica la forma de evaluar alternativas de inversión, mostrando las fórmulas y ejemplos para el cálculo del valor presente neto y la tasa interna de retorno.
Se espera que la presente guía, sea ampliamente aprovechada por los estudiantes de los programas de la FUCLG, para que mejoren su nivel de comprensión general de los temas aquí incluidos y por tanto incrementen su rendimiento académico durante el curso, para que en el futuro sean mejores profesionales, pero ante todo personas de bien como lo requiere nuestra sociedad.
1. GENERALIDADES SOBRE DE MATEMÁTICA FINANCIERA
El propósito primordial de las matemáticas financieras es presentar las herramientas matemáticas necesarias para evaluar las equivalencias del dinero en diferentes tiempos.
La matemática financiera es una herramienta que nos prepara para tener un manejo adecuado de los recursos y nos aporta elementos de juicio en la toma de decisiones que involucren alternativas de inversión o financiamiento.
La matemática financiera es importante porque es la herramienta que nos permite realizar cálculos en los que intervienen los flujos de efectivo, las tasas de interés, impuesto e inflación, teniendo en cuenta que:
• El dinero es un recurso financiero y como tal escaso y quien lo usa debe pagar por ello.
• Los administradores deben garantizar la existencia de recursos tratando que estos sean los menos costosos.
• Cuando hayan excedentes deben invertirlos en los negocios que representen los rendimientos más altos.
1.1 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO.
El concepto fundamental de las matemáticas financieras es el valor del dinero a través del tiempo. Esto se refiere a que cuando vamos a cancelar una obligación o a recibir un ingreso; no basta con especificar que lo vamos a hacer sino que hay que precisar en qué fecha va a ocurrir; pues no tiene el mismo efecto económico cancelar o recibir hoy una cantidad que hacerlo dentro de 6 meses o un año.
Siempre se debe indicar el cuánto y el cuándo. Si cumplimos con este primer concepto vamos entrando en el correcto manejo de las bases de la matemática financiera y estaremos cumpliendo con el principio de reconocer el valor del dinero a través del tiempo.
1.2 TEMAS QUE SE VAN A TRATAR EN EL DESARROLLO DEL MÓDULO
1.2.1 Diagramas de tiempo
Es la representación gráfica de los flujos de efectivo. En esta representación se muestran los elementos que la integran: Ingresos, egresos, tiempo y tasa de interés.
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