Definición de Integrales Impropias

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11. Integrales impropias

11.1. Definición de Integrales Impropias

Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales definidas

(integrales de Riemann) en las que el intervalo de integración o la función en el integrando o ambos

presentan ciertas particularidades. Las integrales impropias no son realmente una nueva forma de

integrales, sino una extensión natural a las propiedades de la integral y un replanteamiento de

nuestro concepto de área bajo la curva.

∫b

a

f (x)dx , es impropia si se presenta uno de los siguientes casos:

1.- a = - ∞ o b = ∞, a = - ∞ y b = ∞

2.- f (x) no es acotada en alguno de los puntos de [a,b], dichos puntos se llaman singularidades

de f (x) .

Existes diversos tipos de integrales impropias las cuales definiremos a continuación:

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Cuando los límites, en las definiciones anteriores, existen, se dice que la integral es

convergente, en caso contrario, se dice que la integral es divergente.

Algunos ejemplos resueltos:

La integral converge a 1.

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La integral converge a

2ln 5

1 − .

11.2. Integral Impropia de 1° clase

Integral impropia de 1ra clase. (divergente)

Ejemplo 2: Mirar si es convergente

luego es

convergente; mirando que la curva es positiva en el intervalo se puede decir que éste valor es

el área bajo la curva

Ejemplo 3: Calcular si esto es posible el área bajo la curva con

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Como para Area =

Entonces el área no se puede medir porque la integral es divergente.

2)

Se toma un valor para calcular y luego se hace tender hacia - Es decir

Ejemplo 4: La región limitada por la curva el eje , el eje rota alrededor del eje ;

encontrar el volumen del sólido obtenido.

Utilizando discos

Volumen

=

Ejemplo 5: Determinar si es convergente o divergente

utilizando fracciones parciales

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=

Como es una forma indeterminada se debe mirar si se puede levantar la indeterminación

Así :

3)

Este caso sería una combinación de los dos numerales anteriores

Pero si la curva tiene alguna simetría se puede aprovechar este hecho para que la integral sea

impropia en uno solo de los límites de integración

Ejemplo 6: Encontrar el área limitada por la curva y el eje

Por lo que la curva es siempre positiva Area= . Pero como la curva es simétrica con

respecto al eje

Area

=2

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Ejemplo 7: Determinar si converge o diverge

como se ve en la gráfica es una función impar por lo cual si existe

por lo tanto

Esto no se hubiera podido decir desde el principio porque perfectamente podía haber sido

divergente y el resultado no da cero.

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<U< INTEGRANDOS CON>Si es una función contínua en un intervalo existe

Si es discontínua en se hace y si este límite existe se dirá que

la integral es convergente si no que es divergente.

Si es discontínua en se hace con la misma observación anterior

Si es discontínua en algún número pero contínua en todos los demás valores

aplicándose sobre el número lo que se describió

11.3. Integral Impropia de 2° clase

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Se denomina integral impropia de segunda especie dependiente del parámetro t a una

integral de la forma donde para cada , es continua salvo en un punto y es infinito alguno de

los límites laterales de cuando x tiende a .

NOTAS:

1) Usando la propiedad de aditividad respecto del intervalo de integración, siempre se

puede suponer que es uno de los extremos del intervalo.

2) La teoría correspondiente a las integrales impropias de segunda especie dependiente de

un parámetro es análoga a la correspondiente a las de primera especie.

3) La integral con continua salvo en un punto , donde es infinito alguno de los límites

laterales se denomina impropia de tercera especie dependiente de un parámetro. Para

trabajar con este tipo de integrales, se usa la aditividad respecto del intervalo de

integración

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