INTEGRALES IMPROPIAS. DEFINICION

INTEGRALES IMPROPIAS

DEFINICION:

Llamaremos integrales impropias a las integrales de funciones sobre intervalos ilimitados, o a las integrales de funciones que no están acotadas en un intervalo.      

INTEGRALES IMPROPIAS DE PRIMERA ESPECIE:

Sea f:[a, + ∞] →R una función acotada:

1. Se dice que [pic 1] es convergente si, y solo si, f es Riechmann integrable para todo intervalo [a,x] existe el limite

[pic 2]

1. Se dice que [pic 3]f es divergente si, y solo si, f es Riechmann integrable  para todo intervalo [a,x], existe el limite

[pic 4]

Y no es finito.

1. Se dice que [pic 5]f es oscilante en el caso en que f no sea Riechmann integrable en un intervalo [a,x] o no exista el limite

[pic 6]

Convergencia. Sea f (x) continua [pic 7]x [pic 8] a. Si existe [pic 9][pic 10]f (x) dx, se dice que f tiene una integral impropia convergente en [a, + [pic 11]), y definimos:        

        [pic 12]f (x) dx = [pic 13][pic 14]f (x) dx        

Si no existe el límite, diremos que f tiene una integral impropia divergente en [a, + [pic 15]).        

De igual modo, definimos también [pic 16]f (x) dx = [pic 17][pic 18]f (x) dx, y        

[pic 19]f (x) dx = [pic 20][pic 21]f (x) dx + [pic 22][pic 23]f (x) dx, si los límites existen.

Ejemplo: Vamos a calcular el área que determina f (x) = [pic 24] con el eje X, a partir de x = 1.        

[pic 25][pic 26]dx = [pic 27][pic 28][pic 29]dx = [pic 30][pic 31][pic 32][pic 33] = [pic 34][pic 35][pic 36] - (- 1)[pic 37] = 1 u.a.      

[pic 38]

INTEGRALES IMPROPIAS DE SEGUNDA ESPECIE:

 Sea f (x) continua en (a, b], y no acotada en a. Si existe [pic 39][pic 40]f (x) dx, definimos:        

        [pic 41]f (x) dx = [pic 42][pic 43]f (x) dx        

Si el límite no existe, diremos que [pic 44]f (x) dx es divergente.

Ejemplo: f (x) = ln x continua para x > 0, no está acotada en x = 0. Calculemos el área del recinto que determina con los ejes. La integral indefinida será:        

[pic 45]ln x dx = [pic 46][pic 47]ln x dx = [pic 48][pic 49]x ln x - x[pic 50] = - 1 - [pic 51][pic 52][pic 53]ln[pic 54][pic 55] = - 1.

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