INTEGRALES IMPROPIAS.

INTEGRALES IMPROPIAS.

Llamaremos integrales impropias a las integrales de funciones sobre intervalos ilimitados, o a las integrales de funciones que no están acotadas en un intervalo.

Integrales impropias de primera especie. Convergencia. Sea f (x) continua x a. Si existe f (x) dx, se dice que f tiene una integral impropia convergente en [a, + ), y definimos:

f (x) dx = f (x) dx

Si no existe el límite, diremos que f tiene una integral impropia divergente en [a, + ).

De igual modo, definimos también f (x) dx = f (x) dx, y

f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx, si los límites existen.

Ejemplo: Vamos a calcular el área que determina f (x) = con el eje X, a partir de x = 1.

dx = dx = = - (- 1) = 1 u.a.

Integrales impropias de segunda especie. Sea f (x) continua en (a, b], y no acotada en a. Si existe f (x) dx, definimos:

f (x) dx = f (x) dx

Si el límite no existe, diremos que f (x) dx es divergente.

Ejemplo: f (x) = ln x continua para x > 0, no está acotada en x = 0. Calculemos el área del recinto que determina con los ejes. La integral indefinida será:

ln x dx = ln x dx = x ln x - x = - 1 - ln = - 1.

El recinto tendrá 1 u.a.

Ejemplo: Calcular el área del recinto que determina f (x) = entre x = 0 y x = 2.

La función no está acotada en x = 1.

S = dx + dx = dx + dx =

= - + - = ( - 1) + (- 1 + ) = .

La integral impropia es divergente.

Integrales Impropias

De acuerdo con la definición de integrales, tenemos una función que está limitada de ambos lados superior e inferior para algún intervalo Icon rango [p, q].

Ahora, en tal escenario dos casos pueden ocurrir,

1. O la función que tenemos se convierte en ilimitada en uno o ambos de sus lados.

2. O, el intervalo para el cual la función es definida en sí se convierte ilimitado, ya sea de un solo lado o de ambos lados.

En tal situación la integral que tenemos se llama integral impropia.

Una integral impropia es un tipo de integral definida dondeo los límites de la integración o la función alcanzan el infinito.

Esto puede ocurrir una o varias veces para los límites de integración dados.

Entendamos ahora el caso I en profundidad.

Para que la función se vuelva ilimitadatenemos dos posibilidades o la función se convierte en ilimitada para el intervalo superior o la función se vuelve ilimitada para el intervalo inferior.

En este caso tenemos el valor de la función alcanzando el infinito para el límite inferior de la función.

Y en este caso tenemos el valor de la función alcanzando el infinito para el límite superior de la función.

No es posible adoptar la manera usual para encontrar la respuesta del problema en tal escenario.

Así que otra forma de obtener la respuesta es la que se ilustra a continuación.

Suponga que una función alcanza el infinito para su límite inferior.

Ahora para encontrar la suma del área cubierta por la gráfica de la función, haga uso de los métodos de los límites.

Suponga que tenemos un gráfico definido para una función g(x), y para las expresiones x = p y x = q.

Esta función no está acotada para el valor de p.

Ahora para calcular la suma del área bajo la gráfica asumimos una variable que tiende hacia el límite inferior de la función y la multiplicamos con la integración de la función para un nuevo límite inferior en esta nueva variable. Por tanto obtenemos,

Si la función alcanza el infinito para más de un punto en el intervalo dado entonces, en consecuencia

...