Integrales Impropias
Enviado por danisanri1234 • 26 de Marzo de 2013 • 2.839 Palabras (12 Páginas) • 499 Visitas
Tema 11
Integrales impropias.
11.1 Introducci´on.
En el tema anterior se ha definido la integral de Riemann con las siguientes hip´otesis
? Dom(f ) = [a; b] es un conjunto acotado.
? f : [a; b] ¡! IR est´a acotada en [a; b].
Si alguna de estas condiciones no se cumple denominaremos a la integral correspondiente
integral impropia.
11.2 Integrales impropias de primera especie.
Definici´on 11.1– Sea f : [a; +1) ¡! IR integrable en [a; t] , para todo t ¸ a , y sea
F : [a; +1) ¡! IR la funci´on definida por F (t) =
Z
t
a
f (x)dx .
El par (f; F ) se denomina integral impropia de primera especie en [a; +1) y se designa
por
Z
+1
a
f (x)dx ´o
Z
+1
a
f:
Definici´on 11.2– Diremos que la integral impropia
Z
+1
a
f (x)dx es convergente si existe y es
finito
lim
t!+1
F (t) = lim
t!+1
Z
t
a
f (x)dx
y si ese l´ımite es L se dice que el valor de la integral impropia es L . Es decir,
L =
Z
+1
a
f (x)dx:
Si el l´ımite anterior es infinito se dice que la integral impropia es divergente, y si no existe se
dice que es oscilante.
De forma an´aloga se definen las integrales impropias de primera especie en intervalos de la
forma (¡1; b] para funciones f : (¡1; b] ¡! IR integrables en [t; b], para todo t 2 IR, y las
representamos por
Z
b
¡1
f (x)dx ´o
Z
b
¡1
f:
Definici´on 11.3– Sea f : IR ¡! IR integrable en todo intervalo cerrado de IR . Diremos que
Z
+1
¡1
f (x)dx es convergente si existe alg´un a 2 IR tal que las integrales
Z
a
¡1
f (x)dx y
Z
+1
a
f (x)dx;
Integral de una variable. 126
11.2 Integrales impropias de primera especie.
son ambas convergentes. En ese caso su valor es
Z
+1
¡1
f (x)dx =
Z
a
¡1
f (x)dx +
Z
+1
a
f (x)dx:
Definici´on 11.4– Diremos que dos integrales impropias tienen el mismo car´acter, y lo repre-sentaremos por “ » ”, si son simult´aneamente convergentes, divergentes u oscilantes.
Propiedades 11.5–
a) Sea f : [a; +1) ¡! IR integrable en [a; t] para todo t ¸ a y sea b ¸ a . Entonces
Z
+1
a
f (x)dx »
Z
+1
b
f (x)dx:
Demostraci´on:
Como
lim
t!+1
Z
t
a
f (x)dx = lim
t!+1
Ã
Z
b
a
f (x)dx +
Z
t
b
f (x)dx
!
=
Z
b
a
f (x)dx + lim
t!+1
Z
t
b
f (x)dx
el l´ımite de la izquierda es finito, infinito o no existe si el l´ımite de la derecha es finito,
infinito o no existe respectivamente. Y viceversa.
An´alogamente si f : (¡1; b] ¡! IR es integrable en [t; b], 8 t 2 IR y a · b , entonces
Z
...