Integrales Impropias
danisanri123426 de Marzo de 2013
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Tema 11
Integrales impropias.
11.1 Introducci´on.
En el tema anterior se ha definido la integral de Riemann con las siguientes hip´otesis
? Dom(f ) = [a; b] es un conjunto acotado.
? f : [a; b] ¡! IR est´a acotada en [a; b].
Si alguna de estas condiciones no se cumple denominaremos a la integral correspondiente
integral impropia.
11.2 Integrales impropias de primera especie.
Definici´on 11.1– Sea f : [a; +1) ¡! IR integrable en [a; t] , para todo t ¸ a , y sea
F : [a; +1) ¡! IR la funci´on definida por F (t) =
Z
t
a
f (x)dx .
El par (f; F ) se denomina integral impropia de primera especie en [a; +1) y se designa
por
Z
+1
a
f (x)dx ´o
Z
+1
a
f:
Definici´on 11.2– Diremos que la integral impropia
Z
+1
a
f (x)dx es convergente si existe y es
finito
lim
t!+1
F (t) = lim
t!+1
Z
t
a
f (x)dx
y si ese l´ımite es L se dice que el valor de la integral impropia es L . Es decir,
L =
Z
+1
a
f (x)dx:
Si el l´ımite anterior es infinito se dice que la integral impropia es divergente, y si no existe se
dice que es oscilante.
De forma an´aloga se definen las integrales impropias de primera especie en intervalos de la
forma (¡1; b] para funciones f : (¡1; b] ¡! IR integrables en [t; b], para todo t 2 IR, y las
representamos por
Z
b
¡1
f (x)dx ´o
Z
b
¡1
f:
Definici´on 11.3– Sea f : IR ¡! IR integrable en todo intervalo cerrado de IR . Diremos que
Z
+1
¡1
f (x)dx es convergente si existe alg´un a 2 IR tal que las integrales
Z
a
¡1
f (x)dx y
Z
+1
a
f (x)dx;
Integral de una variable. 126
11.2 Integrales impropias de primera especie.
son ambas convergentes. En ese caso su valor es
Z
+1
¡1
f (x)dx =
Z
a
¡1
f (x)dx +
Z
+1
a
f (x)dx:
Definici´on 11.4– Diremos que dos integrales impropias tienen el mismo car´acter, y lo repre-sentaremos por “ » ”, si son simult´aneamente convergentes, divergentes u oscilantes.
Propiedades 11.5–
a) Sea f : [a; +1) ¡! IR integrable en [a; t] para todo t ¸ a y sea b ¸ a . Entonces
Z
+1
a
f (x)dx »
Z
+1
b
f (x)dx:
Demostraci´on:
Como
lim
t!+1
Z
t
a
f (x)dx = lim
t!+1
Ã
Z
b
a
f (x)dx +
Z
t
b
f (x)dx
!
=
Z
b
a
f (x)dx + lim
t!+1
Z
t
b
f (x)dx
el l´ımite de la izquierda es finito, infinito o no existe si el l´ımite de la derecha es finito,
infinito o no existe respectivamente. Y viceversa.
An´alogamente si f : (¡1; b] ¡! IR es integrable en [t; b], 8 t 2 IR y a · b , entonces
Z
b
¡1
f (x)dx »
Z
a
¡1
f (x)dx:
b) Sean f; g: [a; +1) ¡! IR integrables en [a; t], 8 t ¸ a . Si
Z
+1
a
f (x)dx y
Z
+1
a
g(x)dx
convergen, entonces
Z
+1
a
(f + g)(x)dx converge. En cuyo caso,
Z
+1
a
(f + g)(x)dx =
Z
+1
a
f (x)dx +
Z
+1
a
g(x)dx:
Demostraci´on:
Basta considerar que lim
t!+1
Z
t
a
(f + g)(x)dx = lim
t!+1
Z
t
a
f (x)dx + lim
t!+1
Z
t
a
g(x)dx , si los
segundos l´ımites existen.
c) Sea f : [a; +1) ¡! IR integrable en [a; t], 8 t ¸ a y ¸ 2 IR, con ¸ 6 = 0. Entonces
Z
+1
a
f (x)dx »
Z
+1
a
¸f (x)dx:
Demostraci´on:
Como lim
t!+1
Z
t
a
¸f (x)dx = ¸ lim
t!+1
Z
t
a
f (x)dx , ambos l´ımites son simult´aneamente finitos,
infinitos o no existen.
Observaciones:
Integral de una variable. 127
11.2 Integrales impropias de primera especie.
a) Sea f : IR ¡! IR integrable en todo intervalo cerrado de IR. El car´acter de
Z
+1
¡1
f (x)dx
no depende del punto a dado en la definici´on.
En el caso de que la integral sea convergente su valor no depende tampoco del punto
elegido ya que, para cualquier b 2 IR,
Z
a
¡1
f +
Z
1
a
f =
Z
b
¡1
f +
Z
a
b
f +
Z
b
a
f +
Z
1
b
f =
Z
b
¡1
f +
Z
1
b
f:
b) Sea f : IR ¡! IR integrable en todo intervalo cerrado de IR. Si
Z
1
¡1
f es convergente,
entonces
Z
+1
¡1
f = lim
t!+1
R
t
¡t
f .
La implicaci´on contraria es falsa. Es decir, puede existir el l´ımite y la integral ser diver-gente.
Contraejemplo.-Z
+1
¡1
2xdx no es convergente, pues
Z
1
0
2xdx = lim
t!+1
Z
t
0
2xdx = lim
t!+1
x
2
i
t
0
= lim
t!+1
t
2
= +1
es divergente, sin embargo
lim
t!+1
Z
t
¡t
2xdx = lim
t!+1
x
2
i
t
¡t
= lim
t!+1
t
2
¡ (¡t)
2
= 0:
Al valor del lim
t!+1
Z
t
¡t
f (x)dx se le denomina Valor Principal de Cauchy, y suele denotarse
por V P
Z
+1
¡1
f .
Ejemplo 11.6{ Estudiar el car´acter de
Z
1
1
dx
x
®
, para ® 2 IR.
Soluci´on:
Como la funci´on tiene primitivas distintas para ® = 1 y ® 6 = 1, las estudiamos por separado:
Si ® = 1,
lim
t!+1
Z
t
1
1
x
dx = lim
t!+1
ln x
i
t
1
= lim
t!+1
(ln t ¡ ln1) = lim
t!+1
ln t = +1;
luego diverge.
Si ® 6 = 1,
lim
t!+1
Z
t
1
x
¡®
dx = lim
t!+1
x
¡®+1
¡® + 1
#
t
1
= lim
t!+1
(
t
¡®+1
¡® + 1
¡
1
¡®+1
¡® + 1
)
= lim
t!+1
1
1 ¡ ®
(t
1¡®
¡ 1) =
(
¡1
1¡®
; si ® > 1
+1; si ® < 1
luego diverge si ® < 1 y converge si ® > 1.
Resumiendo,
Z
1
1
dx
x
®
diverge si ® · 1 y converge si ® > 1. En este ´ultimo caso,
Z
1
1
dx
x
®
=
1
® ¡ 1
:
Integral de una variable. 128
11.2 Integrales impropias de primera especie.
Proposici´on 11.7 – Sea f : [a; +1) ¡! IR , integrable en [a; t] para todo t 2 [a; +1) . Si
lim
x!+1
f (x) = L 6 = 0 entonces
Z
1
a
f (x)dx diverge.
Demostraci´on:
Supongamos que lim
x!+1
f (x) = L > 0. Entonces, para cualquier " > 0 existe k > 0 tal que
si x ¸ k se verifica que jf (x) ¡ Lj < " , es decir, L ¡ " < f (x) < L + " .
En particular, tomando " =
L
2
> 0, si x ¸ k se verifica que
L
2
< f (x) <
3L
2
, luego
0 <
L
2
< f (x) para todo x 2 [k; +1). Entonces,
lim
t!+1
Z
t
k
L
2
dx · lim
t!+1
Z
t
k
f (x)dx
y como
lim
t!+1
Z
t
k
L
2
dx = lim
t!+1
L
2
x]
t
k
=
L
2
lim
t!+1
t ¡ k = +1;
se tiene que lim
t!+1
Z
t
k
f (x)dx = +1 y la integral
Z
1
k
f (x)dx diverge, luego por la propiedad 1
de 11.5 anterior,
Z
1
a
f (x)dx diverge.
Supongamos ahora que lim
x!+1
f (x) = L < 0. Entonces lim
x!+1
¡f (x) = ¡L > 0 y, por tanto,
Z
1
a
¡ f (x)dx diverge. Luego
Z
1
a
f (x)dx diverge.
Observaci´on 11.8– Como consecuencia de este resultado, si una funci´on tiene l´ımite en +1,
su integral s´olo puede ser convergente cuando el l´ımite es cero. (Si el l´ımite no existe no se puede
...