INTEGRALES IMPROPIAS
Enviado por tfgbvjon • 23 de Diciembre de 2013 • 1.359 Palabras (6 Páginas) • 264 Visitas
(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)
INTEGRALES IMPROPIAS
En integración se pide que la función sea continua en el
intervalo considerado y que además éste sea finito. En este
tema se pretende estudiar un cierto tipo de integrales en las
cuales uno o los dos límites de integración son el infinito o
bien, cuando el integrando considera una función con un
número finito de discontinuidades en el intervalo de
integración en estudio. A estas integrales se les llamará
integrales impropias.
Supóngase que se tiene una determinada función " f " que es
continua en un intervalo semiabierto ) , a ∞ ⎡⎣
y que es siempre
positiva, y considérese además que:
lim ( ) 0
x
f x
→∞
=
La gráfica de esta función se muestra a continuación:
Si como se observa en la figura, t > a, entonces el área
A(t) bajo la curva, entre las rectas de ecuaciones
x = a y x = t está dada por la expresión:
( ) ( ) t
a
A t = ∫ f x dx
Si en esta expresión el límite lim ( )
t
A t
→∞
existe, entonces puede
ser interpretado como el área de la región limitada bajo la
curva f (x), sobre el eje " x " y hacia la derecha del valor
f
t x
y
a
A(t)
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
2
x = a. El símbolo ( ) a
f x dx ∞ ∫ es usado para denotar este
valor. Así, es posible resolver esta área de la manera
siguiente:
( ) ( ) lim ( ) t
a t a
A t f x dx f x dx ∞
→∞
= ∫ = ∫
También podría presentarse el siguiente caso en el que una
función presenta una discontinuidad en el intervalo en
estudio. Así, sea la función " f " y el intervalo ⎡⎣a, b⎤⎦ , con su
gráfica dada por:
Como se observa, esta función presenta una discontinuidad
en x = c por lo que para calcular la integral entre los valores
x = a y x = b, esto es, el área bajo la curva señalada
en la figura, se podría hacer mediante las siguientes
integrales:
( ) ( ) ( )
lim ( ) lim ( )
b c b
a a c
p b
p c a q c q
f x dx f x dx f x dx
f x dx f x dx
→ →
= + =
= +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Otro caso que se podría presentar es el que se muestra en la
figura:
x
y
f
a c b
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
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Aquí la integral f (x) dx ∞
−∞ ∫ o bien, el área bajo la curva, se
podría resolver de la manera siguiente, “partiendo” en dos al
área requerida:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
0
lim lim q
p p q
f x dx f x dx f x dx
f x dx f x dx
∞ ∞
−∞ −∞
→−∞ →∞
= + =
= +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Ahora se presenta una definición para estas integrales donde
uno o los dos límites son el infinito o cuando existen puntos de
discontinuidad en el intervalo en estudio.
DEFINICIÓN.
) i Sea la función f continua en el intervalo ) , a ∞ ⎡⎣
.
Entonces el área bajo la curva, limitada arriba por la gráfica
de la curva y hacia la derecha de x = a de manera
indefinida, se obtiene a partir de la siguiente integral
conocida y definida como integral impropia:
(
...