Desarollo Historico Del Limite

1. LIMITES CONCEPCION DEL CONCEPTO

2. INTRODUCCION• En este ensayo trataré de resumir la historia de una concepción abstracta de difícil comprensión que ha sido de gran utilidad para el desarrollo del cálculo infinitesimal, se trata del concepto de límite matemático y de sus variantes

3. Historia del concepto de límite • Han sido tres siglos los necesarios para llegar a estas definiciones desde que John Wallis (1616-1703) formulase la que es aceptada como la primera en el siglo John Wallis (1616-1703) XVII.

4. Historia del concepto de límite • Habría que esperar hasta el año 1821 cuando apareció el texto Cours d’analyse algébrique escrito por Louis Cauchy, en su obra Cauchy definía el límite de una función de la siguiente forma: “Cuando los valores atribuidos sucesivamente a una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo para llegar por último a diferir de este valor en una cantidad tan pequeña como se desee, entonces dicho valor fijo recibe el nombre de límite de todos losLouis Cauchy(1789 –1857) demás valores.”

5. Historia del concepto de límite • Tendrían que pasar aún unos treinta años para que el riguroso alemán Karl Weierstrass viniese a rematar la faena del delicado concepto de límite, con la ayuda de sus épsilon y delta, que no son más que números reales, muy pequeños y muy próximos a cero, y que tanto éxito le dieron.Weierstrass, Karl (1815-1897)

6. La definición formal del límite.• “El límite de una función , cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo épsilon existe un delta tal que para todo número real x en el dominio de la función si cero es menor que el valor absoluto de x-c y este es menor al delta entonces el valor absoluto de f(x)-L es menor a épsilon.”• Esto, escrito en notación formal:

7. La definición formal del límite.• Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido el concepto de límite.• Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal δ.

8. Introducción de la definición de límites en el infinito• Consideramos la función f definida por:• Vamos a determinar el comportamiento de la función cuando x tiende a 2, cuando x tiende a más infinito y cuando x tiende a menos infinito .

9. Para ellos usaremos las siguientes tablasa. X 3 2.5 2.3 2.25 2.1 2.01 2.001 2.00001 1 2 3.33 4 10 100 1000 10000 En este caso, cuando x tiende a 2 por la derecha , la función tiende a tomar valores positivos cada vez mayores. Esto podemos escribirlo como: , es decirb. X 1 1.5 1.6 1.75 1.9 1.99 1.999 1.9999 -1 -2 -2.5 -4 -10 -100 -1000 -10000 En este caso, cuando x tiende a 2 por la izquierda , la función tiende a tomar valores negativos cada vez menores. Esto podemos escribirlo como: , es decir

10. c. X 4 5 8 10 100 1000 0.5 0.33 0.16 0.125 0.0125 0.001002 Ahora observe que es x la que tiende a tomar valores positivos cada vez mayores, obteniendo como resultado que tiende a valores cercanos a cero. Así , o sea, .d. X -3 -5 -8 -10 -100 -1000 -0.2 -0.142 -0.1 -0.083 -0.0098 -0.000998 En forma similar a la tabla anterior se tiene que es decir,

11. Podríamos decir:a) c)b) d)• Pero estos valores y equivalencias a pesar de que sea demostrado con las tablas anteriores que son verdaderas, en la definición formal no tienen sentido ya que es una noción mas no un numero real por lo que no se pueden realizar operaciones aritméticas con él. Así que se tuvo la necesidad de desarrollar su propia definición y se desarrollo de tal forma que cada caso tiene su propia definición.

12. • Caso 1: cuando x tiende a una constante y a más infinito• “El límite de cuando x tiende a c es infinito positivo, si y solo si para cualquier número positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un número tal que, para todos los x dentro del entorno reducido de c de radio δ se cumple que es mayor que A. “• En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos, existe un entorno reducido de c donde la función vale más que A, quiere decir que puede hacerse mayor que cualquier número, con tal de que x se acerque lo suficiente a c. Por eso se dice que el límite de cuando x tiende a c es .

13. • Caso 2: cuando x tiende a una constante y a menos infinito• Caso 3: cuando x tiende a más infinito y a más infinito• Para cualquier número positivo A (por grande que sea), es posible encontrar un número positivo B tal que para todos los mayores que B, es mayor que A. Es decir que puede ser mayor que cualquier número, si es lo suficientemente grande.

14. • Caso 4: cuando x tiende a más infinito y a menos infinito• Caso 5: cuando x tiende a menos infinito y a más infinito• Caso 6: cuando x tiende a menos infinito y a menos infinito

15. • Caso 7: cuando x tiende a más infinito y a una constante• Caso 8: cuando x tiende a menos infinito y a una constante

16. • Así de esta forma se tienen cubiertos todas las posibilidades con respecto a los valores que puedan tomar las incógnitas y los valores resultantes de las funciones y por ende de los límites posibles también, de esta forma también permite el calcular aunque parcialmente limites en puntos donde la función misma esta indefinida (con limites laterales) y el utilizar las mismas definiciones de límites en y hacia el infinito para otros propósitos y en otras materias.

17. Conclusión• En conclusión el hecho de haber podido definir correctamente lo que es el límite, establecer sus variaciones y definirlas correctamente permitió crear las bases de un concepto maestro en el cálculo infinitesimal, un artefacto intelectual imprescindible para poder definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación e integración, entre otros.• Y así el calculo avanzó, dando lugar a su uso no solo teórico sino también practico impulsando la generación de conocimiento.

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