Evolución de la teoría de grupo y su relevancia

Evolución de la teoría de grupo y su relevancia

Uno de los grandes conceptos que presenta la matemática, es el de grupo, concepto que se fue conformando a lo largo de la historia. Los sistemas que se estudian en la actualidad, son estudiados porque casos particulares de estas estructuras han aparecido una y otra vez, hasta que alguien noto que estos casos particulares no eran más que concreciones de un fenómeno general, este también es el caso de la teoría de grupos.

Los trabajos que contienen la idea de grupo implícitamente estaban presentes ya en la segunda mitad del siglo XVIII y todo el siglo XIX, todos hacían referencia a casos particulares de grupos, sobre todo de permutaciones.

El estudio de ecuaciones algebraicas fue el que aglomeró más trabajos y posteriormente surgirían las ideas para definir el concepto de grupo. En el siglo XVIII el que más contribuyo fue Joseph Louis Lagrange con su teoría de las sustituciones influyo en dos grandes matemáticos, Paolo Ruffini y Niels Herik Abel, el primero creyó demostrar que las ecuaciones de grado 5 no pueden resolverse mediante radicales, pero quien demostró esto correctamente fue Abel. Pero hubo un joven genio que opaco sus trabajos, Evariste Galois, el cual puso las bases para la resolución de ecuaciones algebraicas y enlazo la solución de estas con las propiedades de los grupos de sustituciones, también fue el primero en usar las palabras grupo, normal, isomorfismo siempre refiriéndose a las permutaciones. Otros matemáticos que trabajaron estas ideas con importantes resultados fueron Augustin Louis Cauchy y Mejdell Ludwing Sylow.

Mientras que otro matemático comenzó a dar definiciones que se acercaban al concepto de grupo, éste fue Arthur Cayley ya en 1854 y en 1882 Walter von Dick dio la moderna definición de grupo que es aceptada hasta nuestros tiempos.

Definición:

Un grupo (G,∘) es un conjuto G en el que se ha definido una ley de composición interna que satisface los siguientes axiomas.

Asociatividad: a∘(b∘c)=(a∘b)∘c,∀ a,b,c∈G

Elemento neutro: ∃!e ∈G:e∘a=a∘e=a

Elemento simétrico: ∀ a ∈G ∃!a^(-1) ∈G∶a∘a^(-1)=a^(-1)∘a=e

Por lo tanto, un grupo está formado por un conjunto de objetos abstractos o símbolos, y por una ley de composición interna que los relaciona. Dicha ley de composición interna indica cómo deben ser manipulados los objetos del grupo.

Posteriormente se siguió trabajando con la teoría de grupos, y profundizando en ella, de modo que han surgido muchos grupos famosos, algunos ejemplos son; por supuesto el de las permutaciones; de Galois; grupos cíclicos; diédrico; de Lie; de torsión; de Lorentz; de Klein;

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