PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES
Enviado por joelinMay • 16 de Febrero de 2015 • Síntesis • 11.343 Palabras (46 Páginas) • 281 Visitas
335
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE
PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES
Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos
es la salida de líquido de un tanque a través de un orificio situado al fondo del mismo. La
forma geométrica del recipiente determina el comportamiento físico del agua.
Considere un recipiente lleno de agua hasta una altura h.Suponga que el agua fluye a
través de un orificio de sección transversal “a”,el cual está ubicado en la base del tanque. Se
desea establecer la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t y el tiempo que este
demora en vaciarse.
Sea h(t) la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t y V(t) el volumen de
agua del tanque en ese instante. La velocidad v del agua que sale a través del orificio es:
v= hg2 (1)
donde g es la gravedad. La ecuación (1) representa la velocidad que una gota de agua
adquiriría al caer libremente desde la superficie del agua hasta el agujero.
En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contracción que sufre un chorro de
agua en un orificio, porlo que se tendrá
v= c hg2 (2)
donde c es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1 ( 0 < c < 1).
Según la Ley de Torricelli, la razón con la que el agua sale por elagujero (variación del
volumen de líquido en eltanque respecto del tiempo) se puede expresar como el área “a” del
orificio de salida por la velocidad vdel agua drenada, esto es
a
dt
dV
v (3)
sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (3)
dt
dV
= hg2ca (4)
Si A(h) denota el área de la sección transversal horizontal del tanque a la altura h,
aplicando el método del volumen por secciones transversales se obtiene
V =
h
0
dh)h( A
derivando respecto de t y aplicando elteorema fundamental del cálculo
OBSERVACIÓN
Cuando el valor del coeficiente de descarga c no se indica, se asume que c = 1
336
UNIDADES Y NOTACIONES
dt
dh
)h(A
dt
dV
(5)
Comparando las ecuaciones (3) y (5)
dt
dh
)h(A = hg2ca (6)
Elemeto Notación Unidades
Altura h (t) cm mt pies
Volumen V (t) cm
3
mt
3
pies
3
Tiempo t seg seg seg
Gravedad g 981 cm/seg
2
9,81 mt/seg
2
32 pies/seg
2
Área del orificio
de salida
a cm
2
cm
2
pies
2
Área de la sección
Transversal
A(h) cm
2
cm
2
pies
2
Coef. de descarga c Sin Unidades
Sean h la altura de líquido en el tanque encualquier instante t, “a” el área del
orificio de salida el cual estaubicado al fondo del tanque, g la gravedad, C el coeficiente
de descarga y A(h) el área de la sección transversal del tanque. La ecuación diferencial
asociada al problema de vaciado del tanquees
dt
dh
)h(A = hg2ca
Esta es una ecuación diferencial de variables separables, la cual al resolverse
sujeta a la condición de conocer la altura inicial h0 para el tiempo t = 0, permite obtener la
ley de variación de la altura de líquido en el tanque en función del tiempo.
Si, además, hay aporte de líquido al tanque, la ecuación diferencial es
dt
dh
)h(A = Q hg2ca
337
10 pies
20
pies
h
Fig.1
...