PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES
joelinMaySíntesis16 de Febrero de 2015
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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE
PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES
Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos
es la salida de líquido de un tanque a través de un orificio situado al fondo del mismo. La
forma geométrica del recipiente determina el comportamiento físico del agua.
Considere un recipiente lleno de agua hasta una altura h.Suponga que el agua fluye a
través de un orificio de sección transversal “a”,el cual está ubicado en la base del tanque. Se
desea establecer la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t y el tiempo que este
demora en vaciarse.
Sea h(t) la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t y V(t) el volumen de
agua del tanque en ese instante. La velocidad v del agua que sale a través del orificio es:
v= hg2 (1)
donde g es la gravedad. La ecuación (1) representa la velocidad que una gota de agua
adquiriría al caer libremente desde la superficie del agua hasta el agujero.
En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contracción que sufre un chorro de
agua en un orificio, porlo que se tendrá
v= c hg2 (2)
donde c es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1 ( 0 < c < 1).
Según la Ley de Torricelli, la razón con la que el agua sale por elagujero (variación del
volumen de líquido en eltanque respecto del tiempo) se puede expresar como el área “a” del
orificio de salida por la velocidad vdel agua drenada, esto es
a
dt
dV
v (3)
sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (3)
dt
dV
= hg2ca (4)
Si A(h) denota el área de la sección transversal horizontal del tanque a la altura h,
aplicando el método del volumen por secciones transversales se obtiene
V =
h
0
dh)h( A
derivando respecto de t y aplicando elteorema fundamental del cálculo
OBSERVACIÓN
Cuando el valor del coeficiente de descarga c no se indica, se asume que c = 1
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UNIDADES Y NOTACIONES
dt
dh
)h(A
dt
dV
(5)
Comparando las ecuaciones (3) y (5)
dt
dh
)h(A = hg2ca (6)
Elemeto Notación Unidades
Altura h (t) cm mt pies
Volumen V (t) cm
3
mt
3
pies
3
Tiempo t seg seg seg
Gravedad g 981 cm/seg
2
9,81 mt/seg
2
32 pies/seg
2
Área del orificio
de salida
a cm
2
cm
2
pies
2
Área de la sección
Transversal
A(h) cm
2
cm
2
pies
2
Coef. de descarga c Sin Unidades
Sean h la altura de líquido en el tanque encualquier instante t, “a” el área del
orificio de salida el cual estaubicado al fondo del tanque, g la gravedad, C el coeficiente
de descarga y A(h) el área de la sección transversal del tanque. La ecuación diferencial
asociada al problema de vaciado del tanquees
dt
dh
)h(A = hg2ca
Esta es una ecuación diferencial de variables separables, la cual al resolverse
sujeta a la condición de conocer la altura inicial h0 para el tiempo t = 0, permite obtener la
ley de variación de la altura de líquido en el tanque en función del tiempo.
Si, además, hay aporte de líquido al tanque, la ecuación diferencial es
dt
dh
)h(A = Q hg2ca
337
10 pies
20
pies
h
Fig.1
EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN, A PROBLEMAS DE
VACIADO DE TANQUES
1. Un cilindro recto circular de 10 pies de radio y 20 pies de altura, está lleno con agua.
Tiene un pequeño orificio en el fondo de una pulgada de diámetro ¿Cuándo se vaciará
todo el tanque?
SOLUCIÓN:
La ecuación diferencial asociada a los problemas de
Vaciado de tanques es
A(h) dh = – a c hg2 dt (1)
Eldiámetro del orificio por donde fluye el agua fuera
del tanque esde 1 pulgada, por lo tanto el radio es 1/2
pulgada. Como las dimensiones del tanque están dadas
en pie, utilizando la equivalencia de 1 pulgada =
12
1
pies
y puesto que el área del orificio de salida es el área de
una circunferencia (
2
radio ), resulta que el área “a” del
orificio de salida es
a =
2
24
1
=
576
pie
2
El coeficiente de descarga “c” no estádado por lo
tanto se asume c = 1 y la gravedad es g = 32 pies/seg
2
Para determinar A(h), que es el área de la sección transversal del tanque en función
de la altura “h” , obsérvese en la Fig. 1 que las secciones transversales del tanque son
circunferencias de radio constante r = 10 pies. Por lo tanto, el área de la sección transversal
es la misma, independientemente de la altura h a la cual se efectúe el corte. Así,
A(h) =
2
)10( = 100 pies
2
Sustituyendo a, c, g, y A(h) en la ecuación (1)
100 dh = –
576
h64dt = – h
576
8
multiplicando por
1
y simplificando
100 dh = dth
72
1
(2)
338
La ecuación (2) es la ecuación diferencial asociada al problema; la misma debe resolverse sujeta a la condición que para el tiempo t0= 0 seg, la altura inicial es h0= 20 pies,
pues en el enunciado se dice que el tanque esta totalmente lleno.
La ecuación diferencial (2) es una ecuación diferencial de variables separables. Para
separar las variables, la ecuación (2),se multiplica por el factor
h
72
h
7200
dh = dt
integrando
dh
h
1
7200
=
dt (3)
Ambas integrales son inmediatas
dh
h
1
=
2/1
h dh =
2/1
h 2 = 2h+ k1
dt= t + k2
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (3)
– 14400 h= t + k (4)
Para determinar el valor de la constante k de integración, se usa la condición
inicial, esto es, se sustituye en la ecuación (4) t = 0 seg y h = 20 pies, resultando
k = – 14400 20. Este valor obtenido para k sesustituye en la ecuación (4)
– 14400 h= t – 14400 20
multiplicando por
14400
1
y elevando al cuadrado
h(t) =
2
20
14400
t
(5)
La ecuación (5) es la ley de variación de laaltura de líquido enel tanque en cualquier
instante t
Para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque, es decir, el tiempo para
el cual deja de haber líquido en el tanque, se debe sustituir h = 0 en la ecuación (5)
t = 14400 20= 64398,75
Luego el tanque se vacía en un tiempo t = 64398,75 seg , es decir, 17 h 53 min 19 seg
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2. Un tanque tiene la forma de un cubo de12 pies de arista . Debido a un pequeño
orificio situado en el fondo del tanque, de 2 pulgadas cuadradas de área, presenta un
escape. Si el tanque está inicialmente lleno hasta las tres cuartas partes de su
capacidad, determine:
a) ¿Cuándo estará a la mitad de su capacidad?
b) ¿Cuándo estará vacío?
SOLUCIÓN:
a) La ecuación diferencial asociada a los
problemas de vaciado de tanques es
A(h) dh = – a c dthg2 (1)
Como las dimensiones del tanque están dadas
en pie, y puesto que 1pulg = 1/12 pies, entonces
haciendo la conversión, el área orificio de salida será
a = 2 pulg
2
= 2 (1/144) pies
2
= 1/72 pies
2
El coeficiente de descarga es c = 1 y la gravedad
g = 32 pies/seg
2
Como puede observarse en la Fig,1 las secciones transversales del tanque van a ser
cuadrados de lados constantes e iguales a 12 pies, independientemente de la altura a la cual
se efectúa el corte, por lo tanto, el área de las sección transversal será A(h) = 144 pies
2
Ya que las secciones transversales son de área constante y puesto que el tanque está
inicialmente lleno hasta 3/4 de su capacidad, resulta que la altura inicial será igual a 3/4 de la
altura total. Así, como la altura total del tanque es ht= 12 pies, entonces la altura inicial es
h0= 3/4 ht= 9 pies.
Sustituyendo A(h), a, c y g en la ecuación (1)
...