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PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES


Enviado por   •  16 de Febrero de 2015  •  Síntesis  •  11.343 Palabras (46 Páginas)  •  281 Visitas

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE

PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES

Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos

es la salida de líquido de un tanque a través de un orificio situado al fondo del mismo. La

forma geométrica del recipiente determina el comportamiento físico del agua.

Considere un recipiente lleno de agua hasta una altura h.Suponga que el agua fluye a

través de un orificio de sección transversal “a”,el cual está ubicado en la base del tanque. Se

desea establecer la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t y el tiempo que este

demora en vaciarse.

Sea h(t) la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t y V(t) el volumen de

agua del tanque en ese instante. La velocidad v del agua que sale a través del orificio es:

v= hg2 (1)

donde g es la gravedad. La ecuación (1) representa la velocidad que una gota de agua

adquiriría al caer libremente desde la superficie del agua hasta el agujero.

En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contracción que sufre un chorro de

agua en un orificio, porlo que se tendrá

v= c hg2 (2)

donde c es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1 ( 0 < c < 1).

Según la Ley de Torricelli, la razón con la que el agua sale por elagujero (variación del

volumen de líquido en eltanque respecto del tiempo) se puede expresar como el área “a” del

orificio de salida por la velocidad vdel agua drenada, esto es

a

dt

dV

 v (3)

sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (3)

dt

dV

= hg2ca  (4)

Si A(h) denota el área de la sección transversal horizontal del tanque a la altura h,

aplicando el método del volumen por secciones transversales se obtiene

V =

h

0

dh)h( A

derivando respecto de t y aplicando elteorema fundamental del cálculo

OBSERVACIÓN

Cuando el valor del coeficiente de descarga c no se indica, se asume que c = 1

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UNIDADES Y NOTACIONES

dt

dh

)h(A

dt

dV

 (5)

Comparando las ecuaciones (3) y (5)

dt

dh

)h(A = hg2ca  (6)

Elemeto Notación Unidades

Altura h (t) cm mt pies

Volumen V (t) cm

3

mt

3

pies

3

Tiempo t seg seg seg

Gravedad g 981 cm/seg

2

9,81 mt/seg

2

32 pies/seg

2

Área del orificio

de salida

a cm

2

cm

2

pies

2

Área de la sección

Transversal

A(h) cm

2

cm

2

pies

2

Coef. de descarga c Sin Unidades

Sean h la altura de líquido en el tanque encualquier instante t, “a” el área del

orificio de salida el cual estaubicado al fondo del tanque, g la gravedad, C el coeficiente

de descarga y A(h) el área de la sección transversal del tanque. La ecuación diferencial

asociada al problema de vaciado del tanquees

dt

dh

)h(A = hg2ca 

Esta es una ecuación diferencial de variables separables, la cual al resolverse

sujeta a la condición de conocer la altura inicial h0 para el tiempo t = 0, permite obtener la

ley de variación de la altura de líquido en el tanque en función del tiempo.

Si, además, hay aporte de líquido al tanque, la ecuación diferencial es

dt

dh

)h(A = Q hg2ca 

337

10 pies

20

pies

h

Fig.1

...

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