DEFINICIÓN E HISTORIA DE LOS MULTIPLICADOR DE LAGRANGE

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DEFINICIÓN E HISTORIA DE LOS MULTIPLICADOR DE LAGRANGE

El multiplicador de LaGrange este es un procedimiento matemático para encontrar las máxima y las mínimas, estas se ven abordar este problema atravesó de la derivada con la diferencia de funciones de varias variables aplicando la fórmula del multiplicador podremos desarrollar los ejercicios planteados.

En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de LaGrange, llamados así en honor a Joseph Louis LaGrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de varias variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. (Cruz Trejos, 2013)

Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de LaGrange.

 El método dice que buscar los extremos condicionados de una función con k restricciones, es equivalente a buscar los extremos sin restricciones de una nueva función construida como una combinación lineal de la función y las restricciones, donde los coeficientes de las restricciones son los multiplicadores. La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las Derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la función sean iguales a cero. (Cruz Trejos, 2013)

Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n- dimensional {x ∈ Rn}. Se definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,...,s, y se observa (si las restricciones son satisfechas) que:

[pic 1]

Se procede a buscar un extremo para h

[pic 2]

Lo que es equivalente a

[pic 3]

Los multiplicadores desconocidos λk se determinan a partir de las ecuaciones con las restricciones y conjuntamente se obtiene un extremo para h que al mismo tiempo satisface las restricciones (gk=0), lo que implica que f ha sido optimizada. (Cruz Trejos, p. 115)

Los multiplicadores de Lagrange se definen en función de las variables cinemáticas que toman en cuenta todos los grados de libertad del sistema.  

Una ecuación de movimiento se encontrará para cada variable cinemática a partir de las ecuaciones de Lagrange con constricciones, que en su forma general:

[pic 4]

Derivando parcialmente las ecuaciones de restricción no holonómicas con respecto a cada una de las que se obtienen las contribuciones de las fuerzas de restricción en términos de los correspondientes multiplicadores de Lagrange. (Galan, págs. 120,121)

Este método trata de encontrar los máximos y los mínimos de funciones variables ya que estas están sujetas a restricciones. Además este método nos ayuda a resolver problemas uso como restringido con variables a uno sin restricciones de variables, con este método podemos buscar las partes relacionadas de una función con restricciones, buscamos los extremos sin limitaciones de alguna nueva función como una combinación lineal de la función y restricciones (Cruz Trejos, 2013). Implementando también la regla de la cadena esta no es más que el resultante de la derivada de la composición de dos funciones.[pic 5]

Criterio para restablecer extremos con una restricción en función con dos variables

Función de dos variables En general, estaremos interesados en representar una variable Z en función de n variable. Sin embargo, la notación se complica bastante cuando n > 2.

Por este motivo, la exposición de los conceptos la vamos a hacer con n = 2. Las ideas se podrían después extender a n > 2. (Horra, 2013)

Una función de dos variables, z = f(x, y), es el modelo matemático que nos dice cuál es el valor de la variable Z para cada posible valor de las variables X e Y.

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