DISTRIBUCIÓN MAESTRAL DE MEDIDAS

Introducción.

Para el estudio de un fenómeno, se requiere contar con información relacionada con el Mismo. Esta información obtenida bien sea experimentalmente o, mediante la observación, esta dada por datos. Estos datos son el resultado de medir en un conjunto de elementos o individuos, una o varias características a ser analizadas en una investigación. Ahora bien, el análisis puede llevarse a cabo en base a toda o, a una parte de la población. Si se hace uso de toda la información, decimos que se ha hecho una investigación exhaustiva o total (censo). No siempre es posible realizar un censo, por razones como; costos, tiempo, poco práctica, etc. Es necesario entonces, en estos casos, llevar a cabo una investigación parcial.

La misma consiste en realizar el análisis en base a la información correspondiente a un subconjunto de los elementos o individuos, una muestra, de forma tal que a un costo y esfuerzo razonable se logren obtener conclusiones tan validas como las que se obtendrán realizando una investigación exhaustiva o total, un censo.

DISTRIBUCIÓN MAESTRAL DE MEDIDAS

Se ha dicho que uno de los objetivos de la estadística es saber acerca del comportamiento de parámetros poblacionales tales como: la media (π), la varianza (æ2) o la proporción (º). Para ello, se extrae una muestra aleatoria de la población y se calcula el valor de un estadístico correspondiente, por ejemplo, la media maestral (π X), la varianza maestral (S2) o la proporción maestral (p).

Un estadístico es una variable aleatoria, informalmente esto es cierto, ya que su valor depende de los elementos elegidos en la muestra seleccionada. La veracidad formal de esta declaración se da en el siguiente teorema (sin demostración).

Teorema 1

Sean X1, X2, Xn n variables aleatorias. Definamos Y=f(X1, X2, Xn), entonces Y

Es también una variable aleatoria.

El teorema anterior establece que una función de una o más variables aleatorias es también una variable aleatoria,, y como un estadístico es una función de la muestra (las cuales son variables aleatorias), entonces un estadístico es una variable aleatoria, y en consecuencia tiene asociada una distribución de probabilidad la cual es llamada la Distribución Maestral del Estadistico.

CONSTRUCCIÓN DE INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA, PARA LAS MUESTRAS GRANDES Y PEQUEÑAS

ESTIMACIÓN DE PROPORCIÓN:

DISTRIBUCIÓN MAESTRAL DE PROPORCIÓN

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN

Intervalo de confianza para una proporción

Dada una variable aleatoria con distribución Binomial B(n, p), el objetivo es la construcción de un intervalo de confianza para el parámetro p, basada en una observación de la variable que ha dado como valor x. El mismo caso se aplica si estudiamos una Binomial B (1, p) y consideramos el número de veces que ocurre el suceso que define la variable al repetir el experimento n veces en condiciones de independencia.

Existen dos alternativas a la hora de construir un intervalo de confianza para p:

• Considerar la aproximación asintótica de la distribución Binomial en la distribución Normal.

• Utilizar un método exacto.

Aproximación asintóticaE

Tiene la ventaja de la simplicidad en la expresión y en los cálculos, y es la más referenciada en la mayoría de textos de estadística. Se basa en la aproximación

que, trasladada a la frecuencia relativa, resulta

Tomando como estadístico pivote

que sigue una distribución N(0, 1), y añadiendo una corrección por continuidad al pasar de una variable discreta a una continua, se obtiene el intervalo de confianza asintótico:

donde zα/2 es el valor de una distribución Normal estándar que deja a su derecha una probabilidad deαpara un intervalo de confianza de (1 − α) • 100 %Las condiciones generalmente aceptadas para considerar válida la aproximación asintótica anterior son:

El intervalo obtenido es un intervalo asintótico y por tanto condicionado a la validez de la aproximación utilizada. Una información más general sobre los intervalos de confianza asintóticos puede encontrase aquí.

Intervalo exacto

Aun cuando las condiciones anteriores no se verifiquen, es posible la construcción de un intervalo exacto, válido siempre pero algo más complicado en los cálculos. Es posible demostrar que un intervalo exacto para el parámetro p viene dado por los valores siguientes:

donde Fα/2a,b es el valor de una distribución F de Fisher-Snedecor con a y b grados de libertad que deja a su derecha una probabilidad deαpara un intervalo de confianza de (1 − α) • 100 %.

Una justificación de los intervalos de confianza exactos para distribuciones discretas puede encontrarse aquí.

En el programa siguiente se pueden calcular los intervalos de confianza asintótica y, si n es menor de 100, también el exacto para una proporción.

http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo8/B0C8m1t11.htm.

Distribución maestral

A partir de las muestras seleccionadas de una población pueden construirse variables aleatorias alternativas, de cuyo análisis se desprenden interesantes propiedades estadísticas. Las dos formas más comunes de estas variables corresponden a las distribuciones muéstrales de las medias y de las proporciones.

Distribución maestral de las medias

Dada una población constituida por un número n de elementos, cuya media aritmética es m y donde la desviación típica viene dada s, pueden formarse n2 muestras con reemplazamiento distintas, formadas por dos elementos de la población.

Para cada una de estas muestras es posible una media maestral, que denotaremos con el símbolo . Un ejemplo de la tabla de muestras de tamaño 2, tomada de la población {1, 3, 5}, con sus medias aritméticas reflejadas, sería:

A partir de la variable estadística original x de la población se puede construir una nueva variable estadística , que tendría como valores las medias de las muestras tomadas de la población. La media aritmética de esta distribución muestral de las medias se denota por , y su desviación típica por .

Parámetros de la distribución maestral de las medias de tamaño 2

Establecida una distribución maestral de las medias de tamaño 2, su esperanza matemática adopta el valor siguiente:

Siendo m la media aritmética de la población, la media aritmética de cada muestra, la media aritmética de todas las medias, E [x] la esperanza matemática de la variable aleatoria x (para la población) y E [ ] la esperanza matemática de la variable aleatoria (para la distribución maestral de las medias).

Por su parte, los valores de la varianza y la desviación típica de esta distribución maestral de tamaño 2 son:

Donde s es la desviación típica de la población, la desviación típica de la distribución maestral, V [x] la varianza de la variable x (población) y V [ ] la varianza de la variable (distribución maestral de las medias).

Distribución maestral de las medias de tamaño n

En una distribución maestral de las medias, la variable aleatoria media muestral sigue una ley normal descrita como N (m,s/Ön).

Parámetros estadísticos de una distribución maestral de las medias de tamaño n:

Distribución maestral de las proporciones

Sea una población formada por n elementos, de los cuales algunos poseen una determinada característica y otros no (llamaremos p a la proporción de los elementos que poseen la característica, y q = 1 - p a la de los restantes elementos). Entonces, es posible extraer muestras de la población de manera que a cada una se asocie como valor la proporción de la característica analizada.

Por ejemplo, en la población {1, 2, 3}, la característica par tiene un valor p = 1 / 3, mientras que la impar es q = 2 / 3. Mediante la tabla siguiente de muestras se construye una nueva distribución maestral de las proporciones.

Muestra 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3

Proporción f/n 0 0,5 0 0,5 0 0,5 0 0,5 0

Parámetros estadísticos de una distribución muestral de las proporciones de tamaño n:

Una distribución maestral de las proporciones se comporta como una distribución normal descrita por los parámetros N .

http://www.hiru.com/matematicas/distribucion-muestral.

Distribución Maestral de Medias

Si recordamos a la distribución normal, esta es una distribución continua, en forma de campana en donde la media, la mediana y la moda tienen un mismo valor y es simétrica.

Con esta distribución podíamos calcular la probabilidad de algún evento relacionado con la variable aleatoria, mediante la siguiente fórmula:

En donde z es una variable estandarizada con media igual a cero y varianza igual a uno. Con esta fórmula se pueden a hacer los cálculos de probabilidad para cualquier ejercicio, utilizando la tabla de la distribución z.

Sabemos que cuando se extraen muestras de tamaño mayor a 30 o bien de cualquier tamaño de una

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