Ecuaciones Lineales

Desigualdad:

En matemáticas una desigualdad es una relación que existe entre dos cantidades o expresiones y, que nos indica que tienen diferente valor. Es decir, lo contrario a lo que ocurre en una igualdad

En la desigualdad, los términos están relacionados por un símbolo de "mayor que" (>) o "menor que" (<). También existen otros derivados de estos dos. Si alguno de estos dos símbolos aparece acompañado por una línea horizontal por debajo, significa "mayor o igual que" o "menor o igual que", respectivamente.

Un ejemplo de una desigualdad es: 2x + 7 < 19 Que se lee como "2 x más 7 es menor que 19". Y representa al conjunto de números para el que esta expresión es verdadera.

Desigualdades no Lineales

Nos referimos a las desigualdades lineales como las desigualdades que contienen factores cuadráticos y racionales las cuales resolvemos con la información aprendida en las secciones anteriores (factorización, suma, resta, multiplicación, división y otras). Se utilizan los pasos dados en clase para resolver las desigualdades no lineales.

Ejemplo:

Resuelva la siguiente desigualdad: x2 ≤ 4x +12

Solución:

Para resolver la desigualdad lo primero que debemos hacer es arreglarla.

De forma tal que el cero quede al lado derecho de la expresión. Luego factorizamos y buscamos los ceros e investigamos los intervalos para obtener la solución.

Es importante verificar la solución o soluciones en la expresión original.

x2 − 4x −12 ≤ 0

x2 − 4x −12 = 0

( )( )0 x + 2 x − 6 =

x = −2 ó x = 6

Para que la desigualdad se satisfaga existen varias posibilidades: que cualquiera de los factores sea cero o que los factores tengan signos opuestos (uno negativo y otro positivo) para que cuando ocurra la multiplicación el resultado sea menor que cero.

Intervalo (− ∞,−2) (− 2,6) (6,∞)

Número escogido − 3 0 7

Expresión cuadrática 9 –12 9

Conclusión Positivo Negativo Positivo

El conjunto solución es [− 2,6]. Se incluye al –2 y al 6 porque la desigualdad es menor o igual.

Desigualdades con Valor Absoluto

En general, para resolver desigualdades con valor absoluto

debemos utilizar las propiedades y métodos aprendidos anteriormente (suma,

resta, multiplicación y división). Básicamente, el conjunto solución de una

desigualdad con valor absoluto debe ser calculado utilizando dos posibilidades

(por definición de valor absoluto) que cumplan con lo establecido, ejemplo: Si

x > k , donde k > 0, entonces en el conjunto solución se incluyen todas las

coordenadas en la línea que son mayores de k unidades del origen.

Hay dos formas de desigualdades de valor absoluto. | a |< b , | a |> b . Uno con menos, | a | <b, y el otro con mayor que, | a | b>. Se resuelven de manera diferente. Aquí es el primer caso.

Ejemplo 1. Valor absoluto menos.

| a | < 3. | A | <3.

Para que inequaltiy para ser verdad, ¿qué valores puede tener una?

Geométricamente, a es menor de 3 unidades de 0.

Por lo tanto,

−3 < a < 3 -3 <A <3

Esta es la solución. La desigualdad será verdadera si uno tiene un valor entre -3 y 3.

En general, si la desigualdad se parece a esto -

| a | < b | A | <b

Entonces la solución tendrá este aspecto,

− b < a < b - B <a <b para cualquier argumento de uno.

Ejemplo 2. ¿Para qué valores de x que esta desigualdad es cierto?

|2 x − 1| < 5 | 2 x - 1 | <5

Solución. 2 x − 1, El argumento, 2 x - 1, estará entre -5 y 5:

−5 < 2

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