Integral Y Derivadas Aplicadas

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo. El cálculo integral es el proceso inverso a la diferenciación. Es decir, es el proceso de determinar la función cuando se conoce su derivada se llama integración, y la función de determinar se denomina la anti derivada o la integral de la función dada, o de otra manera dada la derivada de una función se debe encontrar la función original. Por ejemplo, podemos estar manejando un modelo de costos en que el costo marginal es una función conocida del nivel de producción y necesitamos calcular el costo total de producir X artículos.

Con el objeto de evaluar la anti derivada de alguna función f(x), debemos encontrar una función F(x) cuya derivada sea igual a f(x).

El cálculo integral también involucra un concepto de límite que nos permite determinar el límite de un tipo especial de suma, cuando el número de términos en la suma tiende a infinito con él podemos conocer la tasa de producción.

Los economistas sostienen que algunas veces es más fácil obtener los datos que dejan los incrementos ocasionados en los costos e ingresos, obtenidos con la producción y venta adicional de un determinado artículo, es por esta razón que no es posible determinar directamente las funciones costo e ingreso total a las que corresponden dichos datos, pero se pueden conocer la funciones costo e ingreso marginal a las que corresponden, de esta manera se pueden determinar las funciones costo e ingreso total de la siguiente manera.

DERIVADAS

Ejercicio 1:

Si C(x)=0.5x^2+x+2 denota la función de costo total de x unidades de un producto, encontrar la razón de cambio promedio del costo total con respecto a x, al cambiar la producción de 5 a 10 unidades.

Aquí tenemos que x_1=5,x_2=10 y la función es C(x), calculamos entonces

ΔC/Δx=(C(10)-C(5))/(10-5)=(62-19.5)/5=8.5

El concepto de razón de cambio promedio se aplica en muchos modelos donde interesa saber crecimiento, etc.

Ejercicio 2:

En cierta fabrica, el costo total de fabricación de x artículos diariamente es de C(x)=0.2x^2+x+900. Según la experiencia, se ha determinado que durante las primeras t horas del trabajo de producción diario se fabrican aproximadamente (t^2+100t) artículos.

a) La tasa de cambio del costo con respecto al tiempo es dC/dt, aplicando la regla de la cadena tenemos.

dC/dt=dC/dx dx/dt=(0.4x+1)(2t+100)

Como x representa el número de artículos producidos y la producción durante las primeras t horas es exactamente (t^2+100t), para expresar dC/dt en términos de t se sustituye x por (t^2+100t):

dC/dt=[0.4(t^2+100t)+1](2t+100)=0.8t+120t^2+4002t+100

b) Tomando t =1 tenemos

dC/dt=0.8+120+4002+100=4222.8

Así que después de una hora el costo total estará creciendo a una tasa de 4222.8 unidades monetarias por hora.

INTEGRALES

El superávit de los consumidores está dado por el área entre las curvas

P=D(q) y p=p_0 entonces su valor puede encontrarse con una integral definida de esta forma:

∫_0^(q_0)▒〖[d(q)-〗 p_0]dq donde d(q) es una función

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