Ecuaciones Diferenciales
Enviado por jvivas • 31 de Octubre de 2013 • Exámen • 477 Palabras (2 Páginas) • 339 Visitas
TRABAJO COLABORATIVO 3
ELIANA SARRIA CLAROS
SANDRA MILENA RAMIREZ
GRUPO 100412_1
TUTOR OSCAR JHONNY GOMEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
ECUACIONES DIFERENCIALES
2013
SOLUCIÓN TALLER ECUACIONES:
Hallar el radio de convergencia de las siguientes series:
∑_(n=1)^∞▒〖(x-3)〗^n/n^3
como a_n=1/n^3 ,entonces a_(n+1)=1/((〖n+1)〗^3 )
Veamos si existe lim┬(n→∞)|a_(n+1)/a_n |
lim┬(n→∞)|a_(n+1)/a_n |=lim┬(n→∞)|(1/((〖n+1)〗^3 ))/(1/n^3 )|=lim┬(n→∞)〖|n^3/((〖n+1)〗^3 )|=1=μ〗
Entonces el radio de convergencia es R=1.
∑_(n=1)^∞▒〖〖(-1)〗^n/n 〗 x^n
como a_n=〖(-1)〗^n/n,entonces a_(n+1)=〖(-1)〗^(n+1)/(n+1)
Veamos si existe lim┬(n→∞)|a_(n+1)/a_n |
lim┬(n→∞)|a_(n+1)/a_n |=lim┬(n→∞)|(〖(-1)〗^(n+1)/(n+1))/(〖(-1)〗^n/n)|=lim┬(n→∞)〖|n/(n+1)|=1=μ〗
Entonces el radio de convergencia es R=1.
Mediante series de potencias resolver la ecuación diferencial y escríbala en forma de serie ∑_(n=1)^∞▒〖c_n x^n 〗
y^'+y=0
sea y=∑_(n=0)^∞▒〖c_n x^n 〗,entonces y'=∑_(n=1)^∞▒〖n c_n x^(n-1) 〗
Sustituyamos en la ecuación, esto es:
y^'+y=∑_(n=1)^∞▒〖n c_n x^(n-1) 〗+∑_(n=0)^∞▒〖c_n x^n 〗=0
∑_(n=0)^∞▒〖(n+1) c_(n+1) x^n 〗+∑_(n=0)^∞▒〖c_n x^n 〗=0
∑_(n=0)^∞▒〖[(n+1) c_(n+1) x^n+c_n x^n ] 〗=0
∑_(n=0)^∞▒〖[(n+1) c_(n+1)+c_n ] 〖 x〗^n 〗=0
Por tanto (n+1) c_(n+1)+c_n=0 → (n+1) c_(n+1)=-c_n
c_(n+1)=-c_n/((n+1) )
para n=0 → c_1=-c_0/((0+1) )=-c_0
para n=1 → c_2=-c_1/((1+1) )=-c_1/2=-〖-c〗_0/2=c_0/2=c_0/2!
para n=2 → c_3=-c_2/((2+1) )=-c_2/3=-(c_0/2)/3=-c_0/6=-c_0/3!
para n=3 → c_4=-c_3/((3+1) )=-(-c_0/3!)/4=(c_0/3!)/4=c_0/24=c_0/4!
Por tanto
y=∑_(n=0)^∞▒〖c_n
...