Superficie cónica de revolución a la superficie

recto(s),etcétera.

Cónicas

________________________________________Llamamos superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje; mientras que denominamos simplemente Cónica a la curva obtenida al cortar esa superficie cónica con un plano. las diferentes posiciones de dicho plano nos determinan distintas curvas: circunferencia, elipse,hipérbola y parábola.

Una cónica puede considerarse como el resultado de cortar una superficie cónica con un plano; o como el lugar geométrico de los puntos del plano tal que la razón de sus distancias a un punto y a una recta es constante; o bien puede darse de ella una definición específica, que es lo que se va a desarrollar en este tema.

Circunferencia: Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.

Ecuación analítica de la circunferencia: si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2. Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que: r2 = (x– a)2 + (y – b)2 Llamada canónica podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y obtenemos

x2 + y2 – 2ax –2by – r2 = 0.

Si reemplazamos – 2a = D; – 2b = E; F = a2 + b2 – r2 tendremos que:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Ejemplo: Si tenemos la ecuación x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0

Entonces tenemos que: D = 6  6 = – 2a  a = – 3

E = – 8  – 8 = – 2b  b = 4

El centro de la circunferencia es (– 3, 4). Hallemos el radio

F = (– 3)2 + 42 – r2 – 11 = (– 3)2 + 42 – r2  r = 6

La ecuación de la circunferencia queda: (x + 3)2 + (y – 4)2 = 36

Elipse: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

Ecuación analítica de la elipse: para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c,0) y F' (– c,0). Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces: PF + PF' = 2a. Aplicando Pitágoras tenemos que:

Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las raíces y desarrollamos los cuadrados (ver operación) queda finalmente:

Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser:

Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 + a2y2 – 2xpb2 – 2yqa2 + p2b2 + q2a2 – a2b2 = 0

Si hacemos: A = b2

B = a2

C = – 2pb2

D = – 2qa2

E = p2b2 + q2a2 – a2b2

tendremos la ecuación: Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que los términos A y B no tienen porqué ser iguales.

Ejemplo: Si tenemos la ecuación 4x2 + 9y2 + 24x – 8y + 81 = 0

...