Superficie cónica

Superficie cónica:

Se llama superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje .

Cónica:

Se llama cónica a la curva obtenida al cortar una superficie cónica por un plano.

El griego Menaechmos fue el primero en estudiar las secciones cónicas. Llegó a ellas tratando de resolver uno de los tres problemas griegos clásicos: la construcción de un cubo del doble de volumen de otro cubo.

Arquímedes logró calcular el área de un elipse y de un sector de la parábola con un método precursor del cálculo integral, que se desarrolló hasta el s. XVII d. C.

Apolonio de Praga representa la culminación de la geometría griega. Escribió ocho libros sobre secciones cónicas, de los cuales uno se perdió. Fue el primero en demostrar que son secciones de un cono circular, recto u oblicuo, y las estudió como curvas planas. Los nombres de elipse, parábola e hipérbola se deben a él.

Circunferencia.

Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.

Ecuación analítica de la circunferencia: Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que:

Pasando la raíz al otro miembro:

Desarrollando los términos cuadráticos obtenemos que:

Si hacemos D = -2a, E = -2b, F = a2 + b2 - r2 tendremos:

X2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.

Ejemplo:

• Encontrar la ecuación de la circunferencia tiene como centro (0,0) y pasa por (7,-9)

Elipse.

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

Ecuación analítica de la elipse: Supongamos para simplificar que los focos están situados en los puntos F(c, 0) y F'(-c, 0), tomemos un punto cualquiera P(x , y) de la elipse y supongamos que la suma de las distancias entre PF y PF' es igual a 2a , entonces tendremos que :

PF + PF' = 2a

Elevando al cuadrado y uniendo términos semejantes obtenemos que:

(A2-c2)•x2 + a2y2 - (a2-c2)•a2 = 0

A partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que a2 = b2 + c2 ( piensa que cuando el punto P es (0,b) la hipotenusa debe medir a y el otro cateto c ) y por lo tanto la ecuación se puede quedar :

b2x2 + a2y2 = a2b2

Dividiendo entre a2b2 obtenemos que:

Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuación debería de ser :

Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que:

b2x2 + a2y2 - 2xpb2 - 2yqa2 + p2b2 + q2a2 - a2b2 = 0

Si hacemos A = b2, B = a2, D = -2pb2, E = -2qa2, F = p2b2 + q2a2 - a2b2 tendremos la ecuación:

Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0

Donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que los términos A y B no tienen por qué ser iguales.

Ejemplo:

• ¿Cuál es la distancia de un extremo del eje menor al foco de la elipse x²/4+y²/3=1?

Aplicación:

• Las órbitas de planetas como la Tierra son elípticas donde un foco corresponde al Sol. También le corresponde esta figura a los cometas y satélites. Además se cree que este razonamiento se aplica también a las órbitas de los átomos.

• Debido

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