Area de una superficie de revolucion.

Área de una superficie de revolución

Definición de superficie de revolución

Si la gráfica de una función continúa gira alrededor de una recta, la superficie  resultante es una superficie de revolución.

[pic 1]

El área de una superficie de revolucion  se deriva de la formula para el área de una superficie lateral de un tronco de un cono redondo recto.
[pic 2]
Donde 𝐿 es el segmento de la recta, 𝑟_1 es el radio en el extremo izquierdo del segmento de la recta y 𝑟2 es el radio en el extremo derecho del segmento de la recta.

• Supongamos que la grafica de una función  tiene una derivada continua en el intervalo, que gira alrededor del eje x para formar una superficie de revolucion, como se muestra en la figura. Sea ∆ una partición de , con subintervalos de anchura ∆ entonces el segmento de la recta de longitud [pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

[pic 8][pic 9]

• Genera un tronco de cono. Sea el radio medio de este tronco. Por el teorema del valor intermedio , un punto  existe (en el  subintervalo) tal que . El área de la superficie lateral  del tronco es:[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

• Por el teorema del valor medio, un punto  existe en  tal que     [pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]
• Así, , y el área de la superficie total puede aproximarse por : [pic 22][pic 23]
• Puede mostrarse que el limite del miembro de la derecha como  es [pic 24][pic 25]

De una manera similar, si la grafica de  se gira alrededor del eje , entonces  es [pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

• En ambas formulas para , se pueden considerar los productos  y  como la circunferencia del circulo trazada por un punto  en la grafica de  al gira alrededor del eje .en el caso del radio es          , y en el otro caso el radio es . Es mas ajustando r apropiadamente se puede generalizar la formula para el área de la superficie para cubrir cualquier eje horizontal o vertical de revolucion.
  [pic 38] [pic 39][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]

• Definicion del área de una superficie de revolución
  Sea con derivada continua en el intervalo . El área S de la superficie de revolucion formada al girar la grafica de f alrededor de un eje horizontal o vertical es:  [pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]
• donde  es la distancia entre la grafica de  y el eje de revolucion. Si  en el intervalo , entonces el área de la superficie es:  [pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]
• Donde  es la distancia entre la grafica de g y el eje de revolucion.[pic 50]
• Las formulas de esta definición a veces son escritas como:
•       y       [pic 51][pic 52]
• Donde “ds” representa lo que hay en la raíz ya mencionada

• EJEMPLO 6: Encontrar el área de la superficie formada al girar la grafica de [pic 53]
• En el intervalo  al girar alrededor del eje x, como se muestra en la figura4.21 [pic 54]

[pic 55]

• Solución: la distancia entre el eje x y la grafica de f es ,y porque , el área de la superficie es.[pic 56][pic 57]
•  [pic 58][pic 59]
•          simplificar   [pic 60]
•                             integrar       [pic 61]
•                                       [pic 62][pic 63]
• EJEMPLO 7: Encontrar el área de la superficie formada al girar la grafica de  en el intervalo  alrededor del eje y como se muestra en la figura.[pic 64][pic 65]

[pic 66]

• Solución: En este caso, la distancia entre la grafica de f y el eje y es . Usando , se puede determinar que el área de la superficie es.[pic 67][pic 68]
•            simplificar[pic 69][pic 70]
•        integrar       [pic 71][pic 72]
• =             [pic 73][pic 74]

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