DESIGUALDADES CONJUNTOS E INTERVALOS

DESIGUALDADES

CONJUNTOS E INTERVALOS

Empecemos recordando las definiciones de los símbolos de desigualdad:

<          Que se lee “menor que”.

>        Que se lee “mayor que”.

[pic 1]        Que se lee “menor o igual que”.

[pic 2]        Que se lee “mayor o igual que”.

Los números reales distintos de cero se dividen en dos clases, los números positivos y los números negativos.

[pic 3]                (a es mayor que 0) para indicar que a es positivo.

[pic 4]                (a es menor que 0) para señalar que a es negativo.

La suma [pic 5] y el producto [pic 6] de dos números reales positivos son ambos positivos.

Si a y b son dos números reales distintos:

Escribimos [pic 7] si la diferencia [pic 8] es positiva.

Escribimos [pic 9] si la diferencia [pic 10] es negativa.

EJEMPLO:

[pic 11]                porque        [pic 12] es positivo.

[pic 13]                porque        [pic 14] es negativo

Geométricamente:

[pic 15] significa que el punto sobre la recta numérica que representa a a está a la derecha del punto que representa al número b.

[pic 16][pic 17]

                                                [pic 18]

                                            b                     a

[pic 19]

[pic 20] significa que el punto que representa a a está a la izquierda del punto que representa a b.

[pic 21][pic 22]

[pic 23]

                                            a                     b

[pic 24]

CONJUNTOS

El conocimiento de los conjuntos y de las operaciones entre conjuntos es básico en todas las matemáticas modernas.

Toda colección de objetos bien definida se llama conjunto.

Los objetos de que consta un conjunto se denominan miembros o elementos de un conjunto.

MÉTODO DEL LISTADO

Si es posible especificar todos los elementos de un conjunto, el conjunto puede describirse listando todos los elementos y encerrando la lista entre llaves.

EJEMPLO:        [pic 25] denota al conjunto que consta de los tres números 1, 2 y 5.

[pic 26] simboliza al conjunto cuyos elementos son la letras p, q, r y s.

MÉTODO DE LA REGLA

Existen muchos ejemplos en los que no es posible o que sería inconveniente listar todos los elementos de un conjunto determinado.

En tales casos el conjunto puede especificarse estableciendo una regla de pertenencia.

Por ejemplo, consideremos el conjunto de todas las ´personas que viven en la ciudad de Manta en este momento.

Especificar este conjunto listando todos sus elementos por nombres sería una tarea prodigiosa.

En lugar de ello lo podemos denotar de la manera siguiente:

{x| x es una persona que actualmente vive en la ciudad de Manta} 

El símbolo “|”significa tal que, de modo que esta expresión se lee:

El conjunto de todas las x tales que x es una persona que actualmente vive en la ciudad de Manta.

EJEMPLOS DE CONJUNTOS

a)        Si N denota el conjunto de todos los números naturales, entonces podemos escribir:

N = {1, 2, 3,………}

N = {k/ k es un número natural}

b)        Si P denota el conjunto de los enteros de -2 a +3, entonces:

P = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}

P = {x/ x es un número entero [pic 27]}

c)                        Q = {1, 4, 7,………..,37}

                        Q = {x/ x = 3k + 1, k es un entero, 0 ≤ k ≤ 13}

Se acostumbra usar letras mayúsculas para denotar a los conjuntos y letras minúsculas para sus elementos.

La notación x ϵ A, se utiliza para indicar el hecho de que x es un elemento de A.

La notación [pic 28], se utiliza para indicar el hecho de que x no es un elemento de A.

INTERVALOS

Sean a y b dos números reales tales que a < b.

Entonces el intervalo abierto de a y b, denotado por (a, b), es el conjunto de todos los números reales x situados entre a y b, pero que no incluye a estos. Así:

(a, b) = {x/ x es un número real y a < x < b}

De manera similar el intervalo cerrado de a y b, denotado por [a, b], es el conjunto de todos los números reales x situados entre a y b, pero que también incluyen a estos. Así:

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