Datos Macro Irlanda

Tema 1

Funciones de una variable.

1.1. Concepto de funci´on.

Definici´on 1.1 Se llama funci´on (real de variable real) a toda correspondencia (o regla), f, que a

cada n´umero x le asigna un ´unico valor f(x). ♣

Ejemplo 1.1 La regla que a cada n´umero le asigna su cuadrado, f(x) = x2, es una funci´on, ya que

un n´umero tiene un ´unico cuadrado. Sin embargo, la regla que a cada n´umero le asigna el n´umero

del que es cuadrado no es una funci´on, ya que a un n´umero positivo le asocia dos n´umeros (4 es el

cuadrado de 2 y -2)

En el primer caso, tenemos una ecuaci´on que relaciona un n´umero con su cuadrado y = x2. En el

segundo caso tambi´en se establece una relaci´on entre los n´umeros mediante la ecuaci´on x = y2, pero

no tenemos una funci´on. Sin embargo, podemos definir como funciones las ra´ıces cuadradas positiva

y negativa: la funci´on f(x) =

√

x y la funci´on f(x) = −

√

x. ♣

Ejemplo 1.2 La regla que a cada n´umero le asocia este n´umero, f(x) = x, es la funci´on identidad y

la regla que asigna a todos los n´umeros un mismo valor fijo c ∈ R, f(x) = c, es la funci´on constante.

Obs´ervese que en ambos casos a un n´umero le asociamos s´olo un n´umero (distinto para todos en la

primera y el mismo para todos en la segunda). ♣

Ejemplo 1.3 Podemos definir una funci´on mediante varias reglas parciales, por ejemplo, la funci´on

valor absoluto es

f(x) = |x| =

⎧⎨

⎩

x si x ≥ 0

−x si x ≤ 0

Para ello, debemos comprobar que en los puntos comunes las reglas definen el mismo n´umero. ♣

1

2 BLOQUE I: C´ALCULO DIFERENCIAL

Definici´on 1.2 Sea f : D ⊆ R−→R

• El dominio de f, D, son los puntos en los que est´a definida

Dom(f) = {x ∈ R/∃f(x)}.

• La imagen, rango o recorrido de f son los valores que toma en R

Im(f) = {y ∈ R/∃x ∈ D con f(x) = y}.

• La gr´afica de f es su representaci´on en el plano formada por el conjunto de puntos

Grf(f) = {(x, y) ∈ R2/f(x) = y}. ♣

Ejemplo 1.4

2
1 1 2 3 4

1

c

f
xc

0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

f
xx

2
1 1 2

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

f
xx2

2
1 1 2

2

1

1

2

f
xx3

• La funci´on f(x) = c est´a definida para todo n´umero y s´olo tiene un resultado. Por tanto, su

dominio est´a formado por todos los n´umeros reales y su imagen por el n´umero c. Su gr´afica son los

puntos del plano que verifican la ecuaci´on y = c:

Dom(f) = R Im(f) = {c} Grf(f) = {(x, y) ∈ R2/y = c}.

• La funci´on f(x) = x est´a definida para todo n´umero y todo n´umero es un resultado. Por tanto,

su dominio y su imagen est´an formados por todos los n´umeros reales. Su gr´afica son los puntos del

plano que verifican la ecuaci´on y = x (la bisectriz del primer cuadrante):

Dom(f) = R Im(f) = R Grf(f) = {(x, y) ∈ R2/y = x}.

• La funci´on f(x) = x2 est´a definida para todo n´umero y todo n´umero positivo es el cuadrado

de alg´un n´umero. Por tanto, su dominio est´a formado por todos los n´umeros reales y su imagen por

los n´umeros reales positivos. Su gr´afica son los puntos del plano que verifican la ecuaci´on y = x2:

Dom(f) = R Im(f) = {y ∈ R/y ≥ 0} Grf(f) = {(x, y) ∈ R2/y = x2}.

• La funci´on f(x) = x3 est´a definida para todo n´umero y todo n´umero es el cubo de alg´un

n´umero. Por tanto, su dominio y su imagen est´an formado por todos los n´umeros reales. Su gr´afica

son los puntos del plano que verifican la ecuaci´on y = x3:

Dom(f) = R Im(f) = R Grf(f) = {(x, y) ∈ R2/y = x3}. ♣

FUNCIONES DE UNA VARIABLE 3

Ejemplo 1.5

0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

f
x x

0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

2.0

1.5

1.0

0.5

0.5

f
x
x

0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

2

1

1

2

xy2

• La funci´on f(x) =

√

x est´a definida para todo n´umero positivo y su resultado es el n´umero

positivo del que es cuadrado. Por tanto, su dominio y su imagen est´an formado por todos los n´umeros

positivos.

Dom(f) = {x ∈ R/x ≥ 0} Im(f) = {y ∈ R/y ≥ 0} Grf(f) = {(x, y) ∈ R2/y =

√

x}.

• La funci´on f(x) = −

√

x est´a definida para todo n´umero positivo y su resultado es el n´umero

negativo del que es cuadrado. Por tanto, su dominio est´a formado por todos los n´umeros positivos y

su imagen est´an formado por todos los n´umeros negativos.

Dom(f) = {x ∈ R/x ≥ 0} Im(f) = {y ∈ R/y ≤ 0} Grf(f) = {(x, y) ∈ R2/y = −

√

x}.

• La funci´on f(x) =

√

x y la funci´on f(x) = −

√

x verifican la ecuaci´on impl´ıcita x = y2, que

no define una funci´on pero une en la misma gr´afica las gr´aficas de ambas funciones. ♣

Definici´on 1.3 Sea f : D ⊆ R−→R

f es peri´odica si ∃T > 0/f(x + T) = f(x) ∀x ∈ D. ♣

Nota Si f es peri´odica de periodo T su gr´afica se repite cada T.

Definici´on 1.4 Sea f : D ⊆ R−→R

• f est´a acotada superiormente si existe M ∈ R tal que f(x) ≤ M ∀x ∈ Dom(f).

• f est´a acotada inferiormente si existe m ∈ R tal que f(x) ≥ m ∀x ∈ Dom(f).

f est´a acotada si est´a acotada superior e inferiormente. ♣

Nota f est´a acotada si y solo si existe un K ∈ R tal que |f(x)| ≤ K ∀x ∈ Dom(f).

Definici´on 1.5 Sea f : D ⊆ R−→R

• f es par si f(−x) = f(x) ∀x ∈ D.

• f es impar si f(−x) = −f(x) ∀x ∈ D. ♣

Nota Si f es par es sim´etrica con respecto al eje OY y si es impar es sim´etrica con respecto al origen.

4 BLOQUE I: C´ALCULO DIFERENCIAL

Ejemplo 1.6 La funci´on f(x) = x2 es par, f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x), y la funci´on f(x) = x3 es

impar, f(−x) = (−x)3 = −x3 = −f(x)

2
1 1 2

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

f
xx2

2
1 1 2

2

1

1

2

f
xx3

Las funciones f(x) =

√

x y f(x) = −

√

x no son ni pares ni impares. ♣

Definici´on 1.6 Sea f : D ⊆ R−→R

• f es inyectiva si elementos distintos de su dominio tienen siempre im´agenes distintas:

x

= x
con x, x
∈ Dom(f) =⇒ f(x)

= f(x
)

• f es sobreyectiva si el conjunto imagen es todo R:

∀y ∈ R∃x ∈ Dom(f)/f(x) = y

Una funci´on es biyectiva si es simult´aneamente inyectiva y sobreyectiva. ♣

Nota Una funci´on es inyectiva si todo elemento de la imagen tiene un ´unico origen, f es sobreyectiva

si todo n´umero es imagen de alg´un elemento del dominio y, por tanto, es biyectiva si todo n´umero

es imagen de un ´unico elemento del dominio

Definici´on 1.7 Sea f : D ⊆ R−→R inyectiva en D (∀y ∈ Im(f) ∃˙ x ∈ Dom(f)/f(x) = y).

La funci´on inversa de f, f−1, a cada y ∈ Im(f) le asocia el ´unico x tal que f(x) = y:

f−1(y) = x ⇔ f(x) = y ♣

Nota El dominio de f−1 es la imagen de f, su imagen es el dominio de f y su gr´afica es la imagen

sim´etrica respecto a la bisectriz del primer cuadrante de la gr´afica de f.

Ejemplo 1.7

y
x y
x3

y
x 3

4
2 2 4

4

2

2

4 y
x2

y
x

y
x

1 2 3 4

1

2

3

4

La funci´on f(x) = 3

√

x es la funci´on inversa de f(x) = x3 en todo su dominio, pero la funci´on

f(x) =

√

x es la funci´on inversa de f(x) = x2 para x ≥ 0, de forma que consideramos como dominio

s´olo el intervalo [0,+∞). ♣

FUNCIONES DE UNA VARIABLE 5

Definici´on 1.8 Sea f : D ⊆ R−→R

• f es creciente si ∀x1, x2 ∈ D x1 < x2 =⇒ f(x1) ≤ f(x2) (estrictamente si f(x1) < f(x2)).

• f es decreciente si ∀x1, x2 ∈ D x1 < x2 =⇒ f(x1) ≥ f(x2) (estrictamente si f(x1) > f(x2)).

f es mon´otona si cumple alguno de los casos anteriores. ♣

Observaci´on: La monoton´ıa es una propiedad global de la funci´on. Esto significa que solo tiene

sentido decir que una funci´on es mon´otona en un determinado conjunto y no que es mon´otona en un

punto, lo que carece de significado. Cuando decimos que una funci´on es mon´otona en un punto lo que

en realidad queremos decir es que es mon´otona en un entorno del punto (conjunto lo suficientemente

peque˜no que contiene al punto). De la misma forma, cuando decimos que una funci´on es mon´otona

lo que en realidad queremos decir es que es mon´otona en su dominio.

Ejemplo 1.8 La funci´on f(x) = x3 y la funci´on f(x) =

√

x son estrictamente crecientes en su

dominio. La funci´on f(x) = −

√

x es estrictamente decreciente. La funci´on

...