Datos Macro Irlanda
Enviado por JRR95 • 3 de Octubre de 2014 • 9.155 Palabras (37 Páginas) • 223 Visitas
Tema 1
Funciones de una variable.
1.1. Concepto de funci´on.
Definici´on 1.1 Se llama funci´on (real de variable real) a toda correspondencia (o regla), f, que a
cada n´umero x le asigna un ´unico valor f(x). ♣
Ejemplo 1.1 La regla que a cada n´umero le asigna su cuadrado, f(x) = x2, es una funci´on, ya que
un n´umero tiene un ´unico cuadrado. Sin embargo, la regla que a cada n´umero le asigna el n´umero
del que es cuadrado no es una funci´on, ya que a un n´umero positivo le asocia dos n´umeros (4 es el
cuadrado de 2 y -2)
En el primer caso, tenemos una ecuaci´on que relaciona un n´umero con su cuadrado y = x2. En el
segundo caso tambi´en se establece una relaci´on entre los n´umeros mediante la ecuaci´on x = y2, pero
no tenemos una funci´on. Sin embargo, podemos definir como funciones las ra´ıces cuadradas positiva
y negativa: la funci´on f(x) =
√
x y la funci´on f(x) = −
√
x. ♣
Ejemplo 1.2 La regla que a cada n´umero le asocia este n´umero, f(x) = x, es la funci´on identidad y
la regla que asigna a todos los n´umeros un mismo valor fijo c ∈ R, f(x) = c, es la funci´on constante.
Obs´ervese que en ambos casos a un n´umero le asociamos s´olo un n´umero (distinto para todos en la
primera y el mismo para todos en la segunda). ♣
Ejemplo 1.3 Podemos definir una funci´on mediante varias reglas parciales, por ejemplo, la funci´on
valor absoluto es
f(x) = |x| =
⎧⎨
⎩
x si x ≥ 0
−x si x ≤ 0
Para ello, debemos comprobar que en los puntos comunes las reglas definen el mismo n´umero. ♣
1
2 BLOQUE I: C´ALCULO DIFERENCIAL
Definici´on 1.2 Sea f : D ⊆ R−→R
• El dominio de f, D, son los puntos en los que est´a definida
Dom(f) = {x ∈ R/∃f(x)}.
• La imagen, rango o recorrido de f son los valores que toma en R
Im(f) = {y ∈ R/∃x ∈ D con f(x) = y}.
• La gr´afica de f es su representaci´on en el plano formada por el conjunto de puntos
Grf(f) = {(x, y) ∈ R2/f(x) = y}. ♣
Ejemplo 1.4
2 1 1 2 3 4
1
c
fxc
0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
f xx
2 1 1 2
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
fxx2
2 1 1 2
2
1
1
2
f xx3
• La funci´on f(x) = c est´a definida para todo n´umero y s´olo tiene un resultado. Por tanto, su
dominio est´a formado por todos los n´umeros reales y su imagen por el n´umero c. Su gr´afica son los
puntos del plano que verifican la ecuaci´on y = c:
Dom(f) = R Im(f) = {c} Grf(f) = {(x, y) ∈ R2/y = c}.
• La funci´on f(x) = x est´a definida para todo n´umero y todo n´umero es un resultado. Por tanto,
su dominio y su imagen est´an formados por todos los n´umeros reales. Su gr´afica son los puntos del
plano que verifican la ecuaci´on y = x (la bisectriz del primer cuadrante):
Dom(f) = R Im(f) = R Grf(f) = {(x, y) ∈ R2/y = x}.
• La funci´on f(x) = x2 est´a definida para todo n´umero y todo n´umero positivo es el cuadrado
de alg´un n´umero. Por tanto, su dominio est´a formado por todos los n´umeros reales y su imagen por
los n´umeros reales positivos. Su gr´afica son los puntos del plano que verifican la ecuaci´on y = x2:
Dom(f) = R Im(f) = {y ∈ R/y ≥ 0} Grf(f) = {(x, y) ∈ R2/y = x2}.
• La funci´on f(x) = x3 est´a definida para todo n´umero y todo n´umero es el cubo de alg´un
n´umero. Por tanto, su dominio y su imagen est´an formado por todos los n´umeros reales. Su gr´afica
son los puntos del plano que verifican la ecuaci´on y = x3:
Dom(f) = R Im(f) = R Grf(f) = {(x, y) ∈ R2/y = x3}. ♣
FUNCIONES DE UNA VARIABLE 3
Ejemplo 1.5
0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
f x x
0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
2.0
1.5
1.0
...