Derivadas

Instrucciones:

Resuelve cada uno de los siguientes problemas, para ello es necesario que revises y comprendas los ejemplos explicados en el material. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta.

1. Resuelve cada una de las siguientes integrales con la aplicación de las propiedades y fórmulas básicas de integración.

a.

b.

c.

d.

2. Investiga en tu libro de texto o alguna fuente bibliográfica el tema: División previa a la integración. En este tema se distingue que si el integrando tiene una fracción, a veces es necesario efectuar primero una división previa para después utilizar las reglas de integración y se identifican dos casos:

• Caso I. El integrando es una función impropia en la cual hay un solo término en el denominador.

• Caso II. El integrando es una función impropia en la cual hay más de un término en el denominador.

Explica en qué consisten cada uno de los casos y desarrolla un ejemplo donde expongas tus explicaciones.

3. Resuelve los siguientes problemas:

.

a.

b.

c.

4. Resuelve cada una de las siguientes integrales. Aplica el método de integración por partes.

.

a.

b.

c.

5. Investiga en tu libro de texto o alguna fuente bibliográfica el tema: integrales trigonométricas. Presenta la información a través de un cuadro sinóptico. Además presenta, de acuerdo a tu investigación, la solución de la siguiente integral: .

6. Resuelve siguientes integrales indefinidas:

.

a.

b.

RESPUESTAS

1.

A. 2x3 dx-cosx dx+2 xd x

2x3+13+1 dx-2x+12

B. (2x1/3-32√x+ex)dx

(2x31 dx-32x dx+exdx

2x13+113+1--3 12x dx+

C. x2-2x+1x dx

x2x dx-2 .xx dx+ 1x dx

x2dx-2dx+1x dx

D. x122x3+1+ secxdx

2x7/2+x1/2+ secxdx

2x7/2dx+x1/2dx+secx dx

2x7/2dx+x1/2dx+secx dx

2. Cuando se tiene que integrar fracciones a veces se ocupa efectuar una división previa para obtener formas de integración familiares, como se verá en el ejemplo siguiente.

Encontrar: x3+xx2 dx

Solución no es evidente una forma familiar de integración, sin embargo podemos descomponer el integrando en dos fracciones, dividiendo cada termino del numerador entre el denominador.

Y obtenemos:

x3+xx2 dx = x3x2+xx2 dx= x+1xdx

=x22+Inx+c

Encontrar:

2x3+3x2+x+12x+1dx

Aquí el integrador es un cociente de polinomios en donde el grado de numerador es mayor o igual que el denominador, y el denominador tiene más de un término. En tal caso para integrar efectuamos primero la división hasta que el grado del residuo sea que menor que el del divisor obtendremos:

2x3+3x2+x+12x+1dx= x2+x+12x+1dx

=x33+x22+12x+1dx

x33+x22+12 12x+12dx

x33+x22+12 In 2x+1+c

3.

A) 12 (2+x3)5+15+1+c

B) u=2x2-6

du=4x

duu=In u+c

C) u=3+cotx

du=-cosc2x

u12+112+1

D) -21u du+-1 dx+x dx

-2 In u+ -1 dx+x dx

-2 In u-x+xdx

-2 In u+x22- x

4.

a. x cos+cos x+c

b. xex-e-x+c

c. ex sen x+excosx.2

5.

5(cosx)5-17 (cosx)7+c

De los métodos de integración, el que se complica más es la integración por sustitución trigonométrica, pero se vuelve sencilla cuando se aprende a identificar qué tipo de identidad trigonométrica utilizar para cada una de las situaciones y el uso de el

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