Derivadas

9.9.1. Interpretación Geométrica De La Derivada

Uno de los problemas históricos que dieron origen al cálculo infinitesimal es muy antiguo, data del gran científico griego Arquímedes (287 – 212 a.C.) es el llamado: problema de las tangentes y que se describe a continuación.

Dada una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene dada por y = f (x) (fig. 9.5.).

fig. 9.5.

Sea P un punto fijo de la curva y sea Q un punto móvil de la curva y próximo a P.

La recta que pasa por P y Q se denomina: recta secante.

Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posiciones sucesivas: Q1, Q2, Q3, ..., Qn, ..., entonces, la posición límite (si existe) de la secante, se denomina: la recta tangente a la curva en P.

Ahora, si las coordenadas de los puntos P y Q son respectivamente: , (Ver fig. 9.6.), entonces, la pendiente de la recta secante , denotada por viene dada por:

fig. 9.6.

En consecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical), es la recta cuya pendiente viene dada por:

De esta forma, la ecuación de la recta tangente a la curva en es:

(Punto – Pendiente)

En los ejercicios 8, 9 y 10 de la sección 9.10. se ilustra la interpretación geométrica de la derivada.

9.9.2. Interpretación Física De La Derivada

Velocidad promedia y velocidad instantánea

Si se conduce un vehículo de una ciudad A a otra B, separadas entre si 100 Km., en un tiempo de 2 horas, la velocidad promedio es de 50 Km./h. Esto es, la velocidad promedio es la distancia entre las ciudades, dividida entre el tiempo empleado.

Pero, durante el viaje, el velocímetro con frecuencia marcó lecturas diferentes de 50 Km./h. Inicialmente marco 0; a veces subió hasta 60 y al final volvió a marcar 0.

Surge entonces la siguiente pregunta: ¿Qué es lo que en realidad marca el velocímetro? No marca la velocidad promedia, sino la llamada velocidad instantánea.

Considere un ejemplo mas preciso. Sea P un objeto que cae al vacío. Los experimentos demuestran que si un objeto, parte del reposo en caida libre, la posición S del objeto, como función del tiempo viene dada por:

: S en pies t en segundos

Asi, en el primer segundo, cae 16 pies.

en el segundo segundo, cae 16(2)2 = 64 pies.

En el intervalo de t =1 seg a t =2 seg, P cae (64 – 16) pies.

Asi que su velocidad promedio será:

En el intervalo de t =1 seg a t =1.5 seg, P cae (16(1.5)2 – 16) pies.

Su velocidad promedio será de:

En forma similar, en los intervalos de tiempo: de t =1 seg a t =1.1 seg, y de t =1 seg a t =1.01 seg, P caerá respectivamente: (16(1.1)2 – 16) pies y (16(1.01)2 – 16) pies.

Sus velocidades promedio serán respectivamente:

Lo que se ha hecho hasta ahora, es calcular la velocidad promedia sobre los intervalos de tiempo cada vez mas cortos pero próximos a 1 seg. Cuanto mas nos aproximamos a t = 1 seg, mejor será la aproximación a la velocidad (instantánea) en el instante t = 1 seg.

Los números: 48, 40, 33.6, 32.16 de las velocidades promedias, hacen "sospechar" que la velocidad instantánea es de 32 pies/seg.

El ejemplo anterior nos permite definir de una manera mas precisa los conceptos de velocidad promedia y de velocidad instantánea.

Supóngase que un objeto P se mueve a lo largo del eje coordenado, de tal forma que su posición S en cada instante t es una función S = f (t).

En el instante t = c, el objeto está en f (c).

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